Ένα μηχανικό σύστημα που αποτελείται από ένα υλικό σημείο (σώμα) που κρέμεται σε ένα μη εκτατό αβαρές νήμα (η μάζα του είναι αμελητέα σε σύγκριση με το βάρος του σώματος) σε ένα ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο ονομάζεται μαθηματικό εκκρεμές (άλλο όνομα είναι ταλαντωτής). Υπάρχουν και άλλοι τύποι αυτής της συσκευής. Αντί για κλωστή, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια ράβδος χωρίς βάρος. Ένα μαθηματικό εκκρεμές μπορεί να αποκαλύψει ξεκάθαρα την ουσία πολλών ενδιαφέροντα φαινόμενα. Όταν το πλάτος της δόνησης είναι μικρό, η κίνησή του ονομάζεται αρμονική.
Επισκόπηση Μηχανικού Συστήματος
Ο τύπος για την περίοδο ταλάντωσης αυτού του εκκρεμούς προήλθε από τον Ολλανδό επιστήμονα Huygens (1629-1695). Αυτός ο σύγχρονος του Ι. Νεύτωνα ενδιαφέρθηκε πολύ για αυτό το μηχανικό σύστημα. Το 1656 δημιούργησε το πρώτο ρολόι με μηχανισμό εκκρεμούς. Μετρούσαν τον χρόνο με εξαιρετική ακρίβεια για εκείνες τις εποχές. Αυτή η εφεύρεση έγινε ένα σημαντικό στάδιο στην ανάπτυξη φυσικών πειραμάτων και πρακτικών δραστηριοτήτων.
Εάν το εκκρεμές βρίσκεται σε θέση ισορροπίας (κρέμεται κάθετα), θα εξισορροπηθεί από τη δύναμη τάνυσης του νήματος. Ένα επίπεδο εκκρεμές σε ένα μη εκτατό νήμα είναι ένα σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας με σύζευξη. Όταν αλλάζετε μόνο ένα εξάρτημα, αλλάζουν τα χαρακτηριστικά όλων των εξαρτημάτων του. Έτσι, εάν το νήμα αντικατασταθεί με μια ράβδο, τότε αυτό το μηχανικό σύστημα θα έχει μόνο 1 βαθμό ελευθερίας. Ποιες ιδιότητες έχει ένα μαθηματικό εκκρεμές; Σε αυτό το απλούστερο σύστημαΤο χάος προκύπτει υπό την επίδραση περιοδικών διαταραχών. Στην περίπτωση που το σημείο ανάρτησης δεν κινείται, αλλά ταλαντώνεται, το εκκρεμές έχει νέα θέση ισορροπίας. Με γρήγορες ταλαντώσεις πάνω και κάτω, αυτό το μηχανικό σύστημα αποκτά μια σταθερή θέση «ανάποδα». Έχει και το δικό του όνομα. Ονομάζεται εκκρεμές της Καπίτσας.
Ιδιότητες εκκρεμούς
Το μαθηματικό εκκρεμές έχει πολύ ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Όλα αυτά επιβεβαιώνονται από γνωστούς φυσικούς νόμους. Η περίοδος ταλάντωσης οποιουδήποτε άλλου εκκρεμούς εξαρτάται από διάφορες περιστάσεις, όπως το μέγεθος και το σχήμα του σώματος, η απόσταση μεταξύ του σημείου ανάρτησης και του κέντρου βάρους και η κατανομή της μάζας σε σχέση με αυτό το σημείο. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο καθορισμός της περιόδου ανάρτησης ενός σώματος είναι αρκετά δύσκολο έργο. Είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογιστεί η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς, ο τύπος του οποίου θα δοθεί παρακάτω. Ως αποτέλεσμα των παρατηρήσεων παρόμοιων μηχανικών συστημάτων, μπορούν να καθοριστούν τα ακόλουθα μοτίβα:
Εάν, διατηρώντας το ίδιο μήκος του εκκρεμούς, αναρτήσουμε διαφορετικά βάρη, τότε η περίοδος των ταλαντώσεων τους θα είναι η ίδια, αν και οι μάζες τους θα ποικίλλουν πολύ. Κατά συνέπεια, η περίοδος ενός τέτοιου εκκρεμούς δεν εξαρτάται από τη μάζα του φορτίου.
Εάν, κατά την εκκίνηση του συστήματος, το εκκρεμές εκτρέπεται σε όχι πολύ μεγάλες, αλλά διαφορετικές γωνίες, τότε θα αρχίσει να ταλαντώνεται με την ίδια περίοδο, αλλά με διαφορετικά πλάτη. Εφόσον οι αποκλίσεις από το κέντρο ισορροπίας δεν είναι πολύ μεγάλες, οι δονήσεις στη μορφή τους θα είναι αρκετά κοντά στις αρμονικές. Η περίοδος ενός τέτοιου εκκρεμούς δεν εξαρτάται σε καμία περίπτωση από το πλάτος της ταλάντωσης. Αυτή η ιδιότητα ενός δεδομένου μηχανικού συστήματος ονομάζεται ισοχρονισμός (μετάφραση από τα ελληνικά "χρόνος" - χρόνος, "ίσος" - ίσος).
Περίοδος μαθηματικού εκκρεμούς
Αυτός ο δείκτης αντιπροσωπεύει την περίοδο των φυσικών ταλαντώσεων. Παρά την περίπλοκη σύνθεση, η ίδια η διαδικασία είναι πολύ απλή. Αν το μήκος του νήματος ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι L, και η επιτάχυνση ελεύθερη πτώση g, τότε αυτή η τιμή είναι ίση με:
Η περίοδος των μικρών δεν εξαρτάται σε καμία περίπτωση από τη μάζα του εκκρεμούς και το πλάτος των ταλαντώσεων. Σε αυτή την περίπτωση, το εκκρεμές κινείται ως μαθηματικό με δεδομένο μήκος.
Ταλαντώσεις μαθηματικού εκκρεμούς
Ένα μαθηματικό εκκρεμές ταλαντώνεται, το οποίο μπορεί να περιγραφεί με μια απλή διαφορική εξίσωση:
x + ω2 sin x = 0,
όπου x (t) είναι μια άγνωστη συνάρτηση (αυτή είναι η γωνία απόκλισης από την κατώτερη θέση ισορροπίας τη στιγμή t, εκφρασμένη σε ακτίνια). Το ω είναι μια θετική σταθερά, η οποία προσδιορίζεται από τις παραμέτρους του εκκρεμούς (ω = √g/L, όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας και L το μήκος του μαθηματικού εκκρεμούς (αιώρηση).
Η εξίσωση για μικρές δονήσεις κοντά στη θέση ισορροπίας (αρμονική εξίσωση) μοιάζει με αυτό:
x + ω2 sin x = 0
Ταλαντωτικές κινήσεις εκκρεμούς
Ένα μαθηματικό εκκρεμές, που κάνει μικρές ταλαντώσεις, κινείται κατά μήκος ενός ημιτονοειδούς. Διαφορική εξίσωσηδεύτερη σειρά πληροί όλες τις απαιτήσεις και τις παραμέτρους μιας τέτοιας κίνησης. Για τον προσδιορισμό της τροχιάς, είναι απαραίτητο να ρυθμίσετε την ταχύτητα και τις συντεταγμένες, από τις οποίες στη συνέχεια προσδιορίζονται ανεξάρτητες σταθερές:
x = A αμαρτία (θ 0 + ωt),
όπου θ 0 είναι η αρχική φάση, Α είναι το πλάτος ταλάντωσης, ω η κυκλική συχνότητα που προσδιορίζεται από την εξίσωση κίνησης.
Μαθηματικό εκκρεμές (τύποι για μεγάλα πλάτη)
Αυτό το μηχανικό σύστημα, που ταλαντώνεται με σημαντικό πλάτος, υπόκειται σε πιο περίπλοκους νόμους κίνησης. Για ένα τέτοιο εκκρεμές υπολογίζονται σύμφωνα με τον τύπο:
sin x/2 = u * sn(ωt/u),
όπου sn είναι το ημίτονο Jacobi, το οποίο για το u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2)/2ω2,
όπου ε = E/mL2 (mL2 είναι η ενέργεια του εκκρεμούς).
Η περίοδος ταλάντωσης ενός μη γραμμικού εκκρεμούς προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:
όπου Ω = π/2 * ω/2K(u), Κ είναι το ελλειπτικό ολοκλήρωμα, π - 3,14.
Κίνηση εκκρεμούς κατά μήκος διαχωριστικού
Το separatrix είναι μια τροχιά δυναμικό σύστημα, το οποίο έχει δισδιάστατο χώρο φάσης. Ένα μαθηματικό εκκρεμές κινείται κατά μήκος του μη περιοδικά. Σε μια απείρως μακρινή χρονική στιγμή, πέφτει από την υψηλότερη θέση του στο πλάι με μηδενική ταχύτητα και στη συνέχεια την κερδίζει σταδιακά. Τελικά σταματά, επιστρέφοντας στην αρχική του θέση.
Αν το πλάτος των ταλαντώσεων του εκκρεμούς πλησιάζει τον αριθμό π , αυτό δείχνει ότι η κίνηση στο επίπεδο φάσης πλησιάζει το separatrix. Σε αυτή την περίπτωση, υπό την επίδραση μιας μικρής κινητήριας περιοδικής δύναμης, το μηχανικό σύστημα παρουσιάζει χαοτική συμπεριφορά.
Όταν ένα μαθηματικό εκκρεμές αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας με μια ορισμένη γωνία φ, προκύπτει μια εφαπτομενική δύναμη βαρύτητας Fτ = -mg sin φ. Το σύμβολο μείον σημαίνει ότι αυτή η εφαπτομενική συνιστώσα κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την εκτροπή του εκκρεμούς. Όταν συμβολίζουμε με x τη μετατόπιση του εκκρεμούς κατά μήκος ενός κυκλικού τόξου με ακτίνα L, η γωνιακή του μετατόπιση είναι ίση με φ = x/L. Ο δεύτερος νόμος, που προορίζεται για προβολές και δύναμη, θα δώσει την επιθυμητή τιμή:
mg τ = Fτ = -mg sin x/L
Με βάση αυτή τη σχέση, είναι σαφές ότι αυτό το εκκρεμές είναι ένα μη γραμμικό σύστημα, αφού η δύναμη που τείνει να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας είναι πάντα ανάλογη όχι της μετατόπισης x, αλλά του sin x/L.
Μόνο όταν ένα μαθηματικό εκκρεμές εκτελεί μικρές ταλαντώσεις είναι αρμονικός ταλαντωτής. Με άλλα λόγια, γίνεται ένα μηχανικό σύστημα ικανό να εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις. Αυτή η προσέγγιση ισχύει πρακτικά για γωνίες 15-20°. Οι ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς με μεγάλα πλάτη δεν είναι αρμονικές.
Ο νόμος του Νεύτωνα για μικρές ταλαντώσεις εκκρεμούς
Εάν ένα δεδομένο μηχανικό σύστημα εκτελεί μικρές ταλαντώσεις, ο 2ος νόμος του Νεύτωνα θα μοιάζει με αυτό:
mg τ = Fτ = -m* g/L* x.
Με βάση αυτό, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ανάλογο της μετατόπισής του με πρόσημο μείον. Αυτή είναι η συνθήκη λόγω της οποίας το σύστημα γίνεται αρμονικός ταλαντωτής. Το μέτρο του συντελεστή αναλογικότητας μεταξύ μετατόπισης και επιτάχυνσης είναι ίσο με το τετράγωνο της κυκλικής συχνότητας:
ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.
Αυτός ο τύπος αντανακλά τη φυσική συχνότητα των μικρών ταλαντώσεων αυτού του τύπου εκκρεμούς. Με βάση αυτό,
T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.
Υπολογισμοί με βάση το νόμο διατήρησης της ενέργειας
Οι ιδιότητες ενός εκκρεμούς μπορούν επίσης να περιγραφούν χρησιμοποιώντας το νόμο της διατήρησης της ενέργειας. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι το εκκρεμές στο βαρυτικό πεδίο είναι ίσο με:
E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2
Σύνολο ισούται με κινητικό ή μέγιστο δυναμικό: Epmax = Ekmsx = E
Αφού γραφτεί ο νόμος της διατήρησης της ενέργειας, πάρτε την παράγωγο της δεξιάς και της αριστερής πλευράς της εξίσωσης:
Εφόσον η παράγωγος σταθερών μεγεθών ισούται με 0, τότε (Ep + Ek)" = 0. Η παράγωγος του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων:
Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,
όθεν:
Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.
Με βάση τον τελευταίο τύπο, βρίσκουμε: α = - g/L*x.
Πρακτική εφαρμογή μαθηματικού εκκρεμούς
Η επιτάχυνση ποικίλλει ανάλογα με το γεωγραφικό πλάτος λόγω της πυκνότητας φλοιό της γηςδεν είναι το ίδιο σε όλο τον πλανήτη. Όπου εμφανίζονται πετρώματα με μεγαλύτερη πυκνότητα, θα είναι ελαφρώς υψηλότερη. Η επιτάχυνση ενός μαθηματικού εκκρεμούς χρησιμοποιείται συχνά για γεωλογική εξερεύνηση. Χρησιμοποιείται για την αναζήτηση διαφόρων ορυκτών. Απλώς μετρώντας τον αριθμό των ταλαντώσεων ενός εκκρεμούς, μπορεί κανείς να ανιχνεύσει άνθρακα ή μετάλλευμα στα έγκατα της Γης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τέτοια απολιθώματα έχουν πυκνότητα και μάζα μεγαλύτερη από τα υποκείμενα χαλαρά πετρώματα.
Το μαθηματικό εκκρεμές χρησιμοποιήθηκε από εξαιρετικούς επιστήμονες όπως ο Σωκράτης, ο Αριστοτέλης, ο Πλάτωνας, ο Πλούταρχος, ο Αρχιμήδης. Πολλοί από αυτούς πίστευαν ότι αυτό το μηχανικό σύστημα θα μπορούσε να επηρεάσει τη μοίρα και τη ζωή ενός ατόμου. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε ένα μαθηματικό εκκρεμές στους υπολογισμούς του. Σήμερα, πολλοί αποκρυφιστές και μέντιουμ χρησιμοποιούν αυτό το μηχανικό σύστημα για να εκπληρώσουν τις προφητείες τους ή να αναζητήσουν αγνοούμενους.
Ο διάσημος Γάλλος αστρονόμος και φυσιοδίφης K. Flammarion χρησιμοποίησε επίσης ένα μαθηματικό εκκρεμές για την έρευνά του. Υποστήριξε ότι με τη βοήθειά του ήταν σε θέση να προβλέψει την ανακάλυψη ενός νέου πλανήτη, την εμφάνιση Μετεωρίτης Tunguskaκαι άλλα σημαντικά γεγονότα. Κατά τη διάρκεια του Β' Παγκοσμίου Πολέμου λειτούργησε στη Γερμανία (Βερολίνο) ένα εξειδικευμένο Ινστιτούτο Εκκρεμούς. Στις μέρες μας, το Ινστιτούτο Παραψυχολογίας του Μονάχου ασχολείται με παρόμοια έρευνα. Οι υπάλληλοι αυτής της επιχείρησης αποκαλούν την εργασία τους με το εκκρεμές "radiesthesia".
Η περίοδος ταλάντωσης ενός φυσικού εκκρεμούς εξαρτάται από πολλές περιστάσεις: από το μέγεθος και το σχήμα του σώματος, από την απόσταση μεταξύ του κέντρου βάρους και του σημείου ανάρτησης και από την κατανομή της μάζας σώματος σε σχέση με αυτό το σημείο. Επομένως, ο υπολογισμός της περιόδου ενός αιωρούμενου σώματος είναι αρκετά δύσκολο έργο. Η κατάσταση είναι απλούστερη για ένα μαθηματικό εκκρεμές. Από τις παρατηρήσεις τέτοιων εκκρεμών, μπορούν να καθοριστούν οι ακόλουθοι απλοί νόμοι.
1. Εάν, ενώ διατηρείτε το ίδιο μήκος του εκκρεμούς (την απόσταση από το σημείο ανάρτησης έως το κέντρο βάρους του φορτίου), κρεμάσετε διαφορετικά φορτία, τότε η περίοδος ταλάντωσης θα είναι η ίδια, αν και οι μάζες του τα φορτία είναι πολύ διαφορετικά. Η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς δεν εξαρτάται από τη μάζα του φορτίου.
2. Αν κατά την εκκίνηση ενός εκκρεμούς το εκτρέψουμε σε διαφορετικές (αλλά όχι πολύ μεγάλες) γωνίες, τότε θα ταλαντωθεί με την ίδια περίοδο, αν και με διαφορετικά πλάτη. Εφόσον τα πλάτη δεν είναι πολύ μεγάλα, οι ταλαντώσεις είναι αρκετά κοντά στη μορφή τους στην αρμονική (§ 5) και η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς δεν εξαρτάται από το πλάτος των ταλαντώσεων. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται ισοχρονισμός (από τις ελληνικές λέξεις "ίσος" - ίσος, "χρόνος" - χρόνος).
Αυτό το γεγονός διαπιστώθηκε για πρώτη φορά το 1655 από τον Γαλιλαίο, υποτίθεται ότι υπό τις ακόλουθες συνθήκες. Ο Γαλιλαίος παρατήρησε στον καθεδρικό ναό της Πίζας την αιώρηση ενός πολυελαίου πάνω σε μια μακριά αλυσίδα, που σπρώχνονταν όταν άναβε. Κατά τη διάρκεια του σερβίς, οι κούνιες σταδιακά ξεθώριασαν (§ 11), δηλαδή το πλάτος των κραδασμών μειώθηκε, αλλά η περίοδος παρέμεινε η ίδια. Ο Γαλιλαίος χρησιμοποίησε τον δικό του παλμό ως δείκτη χρόνου.
Ας εξαγάγουμε τώρα έναν τύπο για την περίοδο ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς.
Ρύζι. 16. Ταλαντώσεις εκκρεμούς σε επίπεδο (α) και κίνηση κατά μήκος κώνου (β)
Όταν το εκκρεμές ταλαντεύεται, το φορτίο κινείται επιταχυνόμενο κατά μήκος ενός τόξου (Εικ. 16, α) υπό την επίδραση μιας δύναμης επαναφοράς, η οποία αλλάζει κατά την κίνηση. Ο υπολογισμός της κίνησης ενός σώματος υπό τη δράση μιας μεταβλητής δύναμης είναι αρκετά περίπλοκος. Επομένως, για λόγους απλότητας, θα προχωρήσουμε ως εξής.
Ας κάνουμε το εκκρεμές να μην ταλαντώνεται σε ένα επίπεδο, αλλά να περιγράψουμε έναν κώνο έτσι ώστε το φορτίο να κινείται σε κύκλο (Εικ. 16, β). Αυτή η κίνηση μπορεί να επιτευχθεί ως αποτέλεσμα της προσθήκης δύο ανεξάρτητων δονήσεων: η μία - ακίνητη στο επίπεδο του σχεδίου και η άλλη - σε ένα κάθετο επίπεδο. Προφανώς, οι περίοδοι και των δύο αυτών επίπεδων ταλαντώσεων είναι ίδιες, αφού οποιοδήποτε επίπεδο ταλάντωσης δεν διαφέρει από κανένα άλλο. Κατά συνέπεια, η περίοδος σύνθετης κίνησης - η περιστροφή του εκκρεμούς κατά μήκος του κώνου - θα είναι ίδια με την περίοδο της αιώρησης του υδάτινου επιπέδου. Αυτό το συμπέρασμα μπορεί εύκολα να καταδειχθεί από την άμεση εμπειρία παίρνοντας δύο πανομοιότυπα εκκρεμή και δίνοντας στο ένα από αυτά μια ταλάντευση σε ένα επίπεδο και στο άλλο μια περιστροφή κατά μήκος ενός κώνου.
Αλλά η περίοδος περιστροφής του "κωνικού" εκκρεμούς είναι ίση με το μήκος του κύκλου που περιγράφεται από το φορτίο, διαιρούμενο με την ταχύτητα:
Εάν η γωνία απόκλισης από την κατακόρυφο είναι μικρή (μικρά πλάτη), τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι η δύναμη επαναφοράς κατευθύνεται κατά μήκος της ακτίνας του κύκλου, δηλαδή ίση με την κεντρομόλο δύναμη:
Από την άλλη πλευρά, από την ομοιότητα των τριγώνων προκύπτει ότι . Από τότε από εδώ
Εξισώνοντας και τις δύο εκφράσεις μεταξύ τους, λαμβάνουμε τον ρυθμό κυκλοφορίας
Τέλος, αντικαθιστώντας αυτό με την έκφραση περιόδου, βρίσκουμε
Έτσι, η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς εξαρτάται μόνο από την επιτάχυνση του βάρους και από το μήκος του εκκρεμούς, δηλαδή την απόσταση από το σημείο ανάρτησης έως το κέντρο βάρους του φορτίου. Από τον τύπο που προκύπτει προκύπτει ότι η περίοδος του εκκρεμούς δεν εξαρτάται από τη μάζα και το πλάτος του (υπό την προϋπόθεση ότι είναι αρκετά μικρό). Με άλλα λόγια, λάβαμε με υπολογισμό εκείνους τους βασικούς νόμους που είχαν θεσπιστεί προηγουμένως από παρατηρήσεις.
Αλλά το θεωρητικό μας συμπέρασμα μας δίνει περισσότερα: μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε μια ποσοτική σχέση μεταξύ της περιόδου του εκκρεμούς, του μήκους του και της επιτάχυνσης της βαρύτητας. Η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα του λόγου του μήκους του εκκρεμούς προς την επιτάχυνση της βαρύτητας. Ο συντελεστής αναλογικότητας είναι .
Μια πολύ ακριβής μέθοδος για τον προσδιορισμό αυτής της επιτάχυνσης βασίζεται στην εξάρτηση της περιόδου του εκκρεμούς από την επιτάχυνση της βαρύτητας. Μετρώντας το μήκος του εκκρεμούς και προσδιορίζοντας από μεγάλο αριθμόπερίοδο ταλάντωσης, μπορούμε να υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο που προκύπτει. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη.
Είναι γνωστό (βλ. τόμος I, §53) ότι η επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης εξαρτάται από γεωγραφικό πλάτοςμέρη (στον πόλο και στον ισημερινό). Οι παρατηρήσεις της περιόδου αιώρησης ενός συγκεκριμένου τυπικού εκκρεμούς καθιστούν δυνατή τη μελέτη της κατανομής της βαρυτικής επιτάχυνσης στο γεωγραφικό πλάτος. Αυτή η μέθοδος είναι τόσο ακριβής που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον εντοπισμό πιο λεπτών διαφορών στην έννοια του επιφάνεια της γης. Αποδεικνύεται ότι ακόμη και στον ίδιο παράλληλο, οι τιμές σε διαφορετικά σημεία στην επιφάνεια της γης είναι διαφορετικές. Αυτές οι ανωμαλίες στην κατανομή της επιτάχυνσης της βαρύτητας συνδέονται με την ανομοιόμορφη πυκνότητα του φλοιού της γης. Χρησιμοποιούνται για τη μελέτη της κατανομής της πυκνότητας, ιδίως για την ανίχνευση της εμφάνισης οποιωνδήποτε ορυκτών στο φλοιό της γης. Εκτεταμένες βαρυμετρικές αλλαγές, που επέτρεψαν να κριθεί η εμφάνιση πυκνών μαζών, πραγματοποιήθηκαν στην ΕΣΣΔ στην περιοχή της λεγόμενης μαγνητικής ανωμαλίας του Κουρσκ (βλ. τόμο II, § 130) υπό την ηγεσία του Ο Σοβιετικός φυσικός Πιότρ Πέτροβιτς Λαζάρεφ. Σε σχέση με δεδομένα για την ανωμαλία της γης μαγνητικό πεδίοΑυτά τα βαρυμετρικά δεδομένα κατέστησαν δυνατό να καθοριστεί η κατανομή της εμφάνισης μαζών σιδήρου που καθορίζουν τις μαγνητικές και βαρυτικές ανωμαλίες του Kursk.
Μαθηματικό εκκρεμέςείναι ένα υλικό σημείο που αιωρείται σε ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα που βρίσκεται στο βαρυτικό πεδίο της Γης. Ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ένα εξιδανικευμένο μοντέλο που περιγράφει σωστά ένα πραγματικό εκκρεμές μόνο υπό ορισμένες συνθήκες. Ένα πραγματικό εκκρεμές μπορεί να θεωρηθεί μαθηματικό εάν το μήκος του νήματος είναι πολύ μεγαλύτερο από το μέγεθος του σώματος που κρέμεται πάνω του, η μάζα του νήματος είναι αμελητέα σε σύγκριση με τη μάζα του σώματος και οι παραμορφώσεις του νήματος είναι τόσο μικρές ότι μπορούν να παραμεληθούν εντελώς.
Ταλαντωτικό σύστημα σε σε αυτή την περίπτωσησχηματίζουν ένα νήμα, ένα σώμα συνδεδεμένο με αυτό και τη Γη, χωρίς το οποίο αυτό το σύστημα δεν θα μπορούσε να χρησιμεύσει ως εκκρεμές.
Οπου ΕΝΑ Χ – επιτάχυνση, σολ – επιτάχυνση ελεύθερης πτώσης, Χ- μετατόπιση, μεγάλο– μήκος του νήματος του εκκρεμούς.
Αυτή η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση ελεύθερων ταλαντώσεων μαθηματικού εκκρεμούς.Περιγράφει σωστά τους εν λόγω κραδασμούς μόνο όταν πληρούνται οι ακόλουθες παραδοχές:
2) λαμβάνονται υπόψη μόνο μικρές ταλαντώσεις του εκκρεμούς με μικρή γωνία αιώρησης.
Οι ελεύθερες δονήσεις οποιωνδήποτε συστημάτων περιγράφονται σε όλες τις περιπτώσεις με παρόμοιες εξισώσεις.
Οι αιτίες των ελεύθερων ταλαντώσεων ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι:
1. Η επίδραση της τάσης και της βαρύτητας στο εκκρεμές, εμποδίζοντάς το να μετακινηθεί από τη θέση ισορροπίας και αναγκάζοντας το να πέσει ξανά.
2. Η αδράνεια του εκκρεμούς, λόγω της οποίας, διατηρώντας την ταχύτητά του, δεν σταματά στη θέση ισορροπίας, αλλά διέρχεται από αυτό περαιτέρω.
Περίοδος ελεύθερων ταλαντώσεων μαθηματικού εκκρεμούς
Η περίοδος ελεύθερης ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς δεν εξαρτάται από τη μάζα του, αλλά καθορίζεται μόνο από το μήκος του νήματος και την επιτάχυνση της βαρύτητας στο σημείο όπου βρίσκεται το εκκρεμές.
Μετατροπή ενέργειας κατά τη διάρκεια αρμονικών ταλαντώσεων
Κατά τη διάρκεια αρμονικών ταλαντώσεων ενός εκκρεμούς ελατηρίου, η δυναμική ενέργεια ενός ελαστικά παραμορφωμένου σώματος μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια, Πού κ – συντελεστής ελαστικότητας, X -μέτρο μετατόπισης του εκκρεμούς από τη θέση ισορροπίας, m- μάζα του εκκρεμούς, v- η ταχύτητά του. Σύμφωνα με την αρμονική εξίσωση δόνησης:
,
.
Συνολική ενέργεια ενός εκκρεμούς ελατηρίου:
.
Συνολική ενέργεια για ένα μαθηματικό εκκρεμές:
Στην περίπτωση μαθηματικού εκκρεμούς
Οι μετασχηματισμοί ενέργειας κατά τη διάρκεια ταλαντώσεων ενός εκκρεμούς ελατηρίου συμβαίνουν σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ( 
). Όταν ένα εκκρεμές κινείται προς τα κάτω ή προς τα πάνω από τη θέση ισορροπίας του, η δυναμική του ενέργεια αυξάνεται και η κινητική του ενέργεια μειώνεται. Όταν το εκκρεμές περάσει τη θέση ισορροπίας ( Χ= 0), η δυναμική του ενέργεια είναι μηδέν και η κινητική ενέργεια του εκκρεμούς έχει τη μεγαλύτερη τιμή, ίση με τη συνολική του ενέργεια.
Έτσι, στη διαδικασία των ελεύθερων ταλαντώσεων του εκκρεμούς, η δυναμική του ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική, η κινητική σε δυναμικό, το δυναμικό στη συνέχεια σε κινητική, κ.λπ. Αλλά η συνολική μηχανική ενέργεια παραμένει αμετάβλητη.
Αναγκαστικοί κραδασμοί. Αντήχηση.
Οι ταλαντώσεις που συμβαίνουν υπό την επίδραση μιας εξωτερικής περιοδικής δύναμης ονομάζονται εξαναγκασμένες ταλαντώσεις. Μια εξωτερική περιοδική δύναμη, που ονομάζεται κινητήρια δύναμη, μεταδίδει πρόσθετη ενέργεια στο ταλαντευόμενο σύστημα, η οποία πηγαίνει για να αναπληρώσει τις απώλειες ενέργειας που προκύπτουν λόγω της τριβής. Εάν η κινητήρια δύναμη αλλάξει στο χρόνο σύμφωνα με το νόμο του ημιτονοειδούς ή συνημιτονοειδούς, τότε οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις θα είναι αρμονικές και χωρίς απόσβεση.
Σε αντίθεση με τις ελεύθερες ταλαντώσεις, όταν το σύστημα λαμβάνει ενέργεια μόνο μία φορά (όταν το σύστημα βγαίνει από την ισορροπία), στην περίπτωση εξαναγκασμένων ταλαντώσεων το σύστημα απορροφά αυτή την ενέργεια από μια πηγή εξωτερικής περιοδικής δύναμης συνεχώς. Αυτή η ενέργεια αναπληρώνει τις απώλειες που δαπανώνται για την υπέρβαση της τριβής, και επομένως η συνολική ενέργεια του ταλαντωτικού συστήματος παραμένει αμετάβλητη.
Η συχνότητα των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων είναι ίση με τη συχνότητα της κινητήριας δύναμης. Στην περίπτωση που η συχνότητα κινητήριας δύναμης υ συμπίπτει με τη φυσική συχνότητα του ταλαντευτικού συστήματος υ 0 , υπάρχει μια απότομη αύξηση στο πλάτος των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων - αντήχηση. Ο συντονισμός εμφανίζεται λόγω του γεγονότος ότι όταν υ = υ 0 η εξωτερική δύναμη, που ενεργεί έγκαιρα με ελεύθερες δονήσεις, ευθυγραμμίζεται πάντα με την ταχύτητα του ταλαντούμενου σώματος και κάνει θετική δουλειά: η ενέργεια του ταλαντούμενου σώματος αυξάνεται και το πλάτος των ταλαντώσεων του γίνεται μεγάλο. Γράφημα του πλάτους των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων ΕΝΑ Τ στη συχνότητα κινητήριας δύναμης υ που παρουσιάζεται στο σχήμα, αυτό το γράφημα ονομάζεται καμπύλη συντονισμού:
Το φαινόμενο του συντονισμού παίζει σημαντικό ρόλο σε μια σειρά από φυσικές, επιστημονικές και βιομηχανικές διαδικασίες. Για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να λαμβάνεται υπόψη το φαινόμενο του συντονισμού κατά το σχεδιασμό γεφυρών, κτιρίων και άλλων κατασκευών που δονούνται υπό φορτίο, διαφορετικά υπό ορισμένες συνθήκες αυτές οι κατασκευές μπορεί να καταστραφούν.
(λατ. πλάτος- μέγεθος) είναι η μεγαλύτερη απόκλιση ενός ταλαντούμενου σώματος από τη θέση ισορροπίας του.
Για ένα εκκρεμές, αυτή είναι η μέγιστη απόσταση που η μπάλα απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας της (σχήμα παρακάτω). Για ταλαντώσεις με μικρά πλάτη, μια τέτοια απόσταση μπορεί να ληφθεί ως το μήκος του τόξου 01 ή 02 και τα μήκη αυτών των τμημάτων.
Το πλάτος των ταλαντώσεων μετριέται σε μονάδες μήκους - μέτρα, εκατοστά, κ.λπ. Στο γράφημα ταλάντωσης, το πλάτος ορίζεται ως η μέγιστη (modulo) τεταγμένη της ημιτονοειδούς καμπύλης (βλ. παρακάτω σχήμα).
Περίοδος ταλάντωσης.
Περίοδος ταλάντωσης- αυτή είναι η συντομότερη χρονική περίοδος κατά την οποία ένα σύστημα που ταλαντώνεται επιστρέφει ξανά στην ίδια κατάσταση στην οποία βρισκόταν την αρχική χρονική στιγμή, επιλεγμένη αυθαίρετα.
Με άλλα λόγια, η περίοδος ταλάντωσης ( Τ) είναι ο χρόνος κατά τον οποίο συμβαίνει μία πλήρης ταλάντωση. Για παράδειγμα, στο παρακάτω σχήμα, αυτός είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να μετακινηθεί το εκκρεμές από το άκρο σωστό σημείομέσω του σημείου ισορροπίας ΓΙΑστο αριστερό άκρο και πίσω μέσα από το σημείο ΓΙΑπάλι προς τα δεξιά.
Κατά τη διάρκεια μιας ολόκληρης περιόδου ταλάντωσης, το σώμα διανύει έτσι μια διαδρομή ίση με τέσσερα πλάτη. Η περίοδος ταλάντωσης μετριέται σε μονάδες χρόνου - δευτερόλεπτα, λεπτά κ.λπ. Η περίοδος ταλάντωσης μπορεί να προσδιοριστεί από ένα γνωστό γράφημα ταλαντώσεων (βλ. παρακάτω σχήμα).
Η έννοια της «περιόδου ταλάντωσης», αυστηρά μιλώντας, ισχύει μόνο όταν οι τιμές της ταλαντούμενης ποσότητας επαναλαμβάνονται ακριβώς μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, δηλαδή για αρμονικές ταλαντώσεις. Ωστόσο, αυτή η έννοια ισχύει επίσης για περιπτώσεις κατά προσέγγιση επαναλαμβανόμενων ποσοτήτων, για παράδειγμα, για απόσβεση ταλαντώσεων.
Συχνότητα ταλάντωσης.
Συχνότητα ταλάντωσης- αυτός είναι ο αριθμός των ταλαντώσεων που εκτελούνται ανά μονάδα χρόνου, για παράδειγμα, σε 1 s.
Η μονάδα συχνότητας SI ονομάζεται χέρτζ(Hz) προς τιμήν του Γερμανού φυσικού G. Hertz (1857-1894). Εάν η συχνότητα ταλάντωσης ( v) ισούται με 1 Hz, αυτό σημαίνει ότι κάθε δευτερόλεπτο υπάρχει μία ταλάντωση. Η συχνότητα και η περίοδος των ταλαντώσεων σχετίζονται με τις σχέσεις:
Στη θεωρία των ταλαντώσεων χρησιμοποιούν και την έννοια κυκλικός, ή κυκλική συχνότητα ω . Σχετίζεται με την κανονική συχνότητα vκαι περίοδος ταλάντωσης Ταναλογίες:
.
Κυκλική συχνότηταείναι ο αριθμός των ταλαντώσεων που εκτελούνται ανά 2πδευτερόλεπτα
Μαθηματικό εκκρεμέςκαλούμε ένα υλικό σημείο που αιωρείται σε ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα που συνδέεται με την ανάρτηση και βρίσκεται στο πεδίο της βαρύτητας (ή άλλης δύναμης).
Ας μελετήσουμε τις ταλαντώσεις ενός μαθηματικού εκκρεμούς σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, σε σχέση με το οποίο το σημείο ανάρτησής του βρίσκεται σε ηρεμία ή κινείται ομοιόμορφα σε ευθεία γραμμή. Θα παραμελήσουμε τη δύναμη της αντίστασης του αέρα (ιδανικό μαθηματικό εκκρεμές). Αρχικά, το εκκρεμές βρίσκεται σε ηρεμία στη θέση ισορροπίας C. Στην περίπτωση αυτή, η δύναμη της βαρύτητας \(\vec F\) που ασκεί πάνω του και η ελαστική δύναμη \(\vec F_(ynp)\) του νήματος είναι αμοιβαία αποζημιωθεί.
Ας αφαιρέσουμε το εκκρεμές από τη θέση ισορροπίας (εκτρέποντάς το, για παράδειγμα, στη θέση Α) και ας το απελευθερώσουμε χωρίς αρχική ταχύτητα (Εικ. 13.11). Σε αυτήν την περίπτωση, οι δυνάμεις \(\vec F\) και \(\vec F_(ynp)\) δεν ισορροπούν μεταξύ τους. Η εφαπτομενική συνιστώσα της βαρύτητας \(\vec F_\tau\), που ενεργεί στο εκκρεμές, το λέει επιτάχυνση κατά την εφαπτομένη\(\vec a_\tau\) (συστατικό της συνολικής επιτάχυνσης που κατευθύνεται κατά μήκος της εφαπτομένης στην τροχιά του μαθηματικού εκκρεμούς) και το εκκρεμές αρχίζει να κινείται προς τη θέση ισορροπίας με ταχύτητα που αυξάνεται σε απόλυτη τιμή. Η εφαπτομενική συνιστώσα της βαρύτητας \(\vec F_\tau\) είναι επομένως μια δύναμη επαναφοράς. Η κανονική συνιστώσα \(\vec F_n\) της δύναμης βαρύτητας κατευθύνεται κατά μήκος του νήματος ενάντια στην ελαστική δύναμη \(\vec F_(ynp)\). Το αποτέλεσμα των δυνάμεων \(\vec F_n\) και \(\vec F_(ynp)\) προσδίδει την κανονική επιτάχυνση \(~a_n\) στο εκκρεμές, το οποίο αλλάζει την κατεύθυνση του διανύσματος ταχύτητας και το εκκρεμές κινείται κατά μήκος ενός τόξου ABCD.
Όσο πιο κοντά πλησιάζει το εκκρεμές στη θέση ισορροπίας C, τόσο μικρότερη γίνεται η τιμή της εφαπτομενικής συνιστώσας \(~F_\tau = F \sin \alpha\). Στη θέση ισορροπίας είναι μηδέν, και η ταχύτητα φτάνει μέγιστη αξία, και το εκκρεμές κινείται περαιτέρω με αδράνεια, ανεβαίνοντας προς τα πάνω σε ένα τόξο. Σε αυτήν την περίπτωση, το στοιχείο \(\vec F_\tau\) στρέφεται ενάντια στην ταχύτητα. Με την αύξηση της γωνίας εκτροπής a, το μέτρο δύναμης \(\vec F_\tau\) αυξάνεται και το μέτρο ταχύτητας μειώνεται και στο σημείο D η ταχύτητα του εκκρεμούς γίνεται ίση με μηδέν. Το εκκρεμές σταματά για μια στιγμή και μετά αρχίζει να κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση από τη θέση ισορροπίας. Έχοντας το ξαναπεράσει με αδράνεια, το εκκρεμές, επιβραδύνοντας την κίνησή του, θα φτάσει στο σημείο Α (δεν υπάρχει τριβή), δηλ. θα ολοκληρώσει μια πλήρη αιώρηση. Μετά από αυτό, η κίνηση του εκκρεμούς θα επαναληφθεί με τη σειρά που έχει ήδη περιγραφεί.
Ας πάρουμε μια εξίσωση που περιγράφει τις ελεύθερες ταλαντώσεις ενός μαθηματικού εκκρεμούς.
Αφήστε το εκκρεμές μέσα αυτή τη στιγμήο χρόνος είναι στο σημείο Β. Η μετατόπισή του S από τη θέση ισορροπίας αυτή τη στιγμή είναι ίση με το μήκος του τόξου SV (δηλαδή S = |SV|). Ας υποδηλώσουμε το μήκος του νήματος ανάρτησης μεγάλο, και η μάζα του εκκρεμούς είναι m.
Από το σχήμα 13.11 είναι σαφές ότι \(~F_\tau = F \sin \alpha\), όπου \(\alpha =\frac(S)(l).\) Σε μικρές γωνίες \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому
\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)
Το σύμβολο μείον τοποθετείται σε αυτόν τον τύπο επειδή η εφαπτομενική συνιστώσα της βαρύτητας κατευθύνεται προς τη θέση ισορροπίας και η μετατόπιση υπολογίζεται από τη θέση ισορροπίας.
Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Ας προβάλουμε τις διανυσματικές ποσότητες αυτής της εξίσωσης στην κατεύθυνση της εφαπτομένης στην τροχιά του μαθηματικού εκκρεμούς
\(~F_\tau = ma_\tau .\)
Από αυτές τις εξισώσεις παίρνουμε
\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - δυναμική εξίσωση κίνησης μαθηματικού εκκρεμούς. Η εφαπτομενική επιτάχυνση ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι ανάλογη της μετατόπισής του και κατευθύνεται προς τη θέση ισορροπίας. Αυτή η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως \. Συγκρίνοντάς το με την εξίσωση των αρμονικών ταλαντώσεων \(~a_x + \omega^2x = 0\) (βλ. § 13.3), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το μαθηματικό εκκρεμές εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις. Και δεδομένου ότι οι θεωρούμενες ταλαντώσεις του εκκρεμούς συνέβησαν υπό την επίδραση μόνο εσωτερικών δυνάμεων, αυτές ήταν ελεύθερες ταλαντώσεις του εκκρεμούς. Οθεν, Οι ελεύθερες ταλαντώσεις ενός μαθηματικού εκκρεμούς με μικρές αποκλίσεις είναι αρμονικές.
Ας υποδηλώσουμε \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) Από όπου \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) είναι η κυκλική συχνότητα του εκκρεμούς.
Η περίοδος ταλάντωσης του εκκρεμούς είναι \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Επομένως,
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)
Αυτή η έκφραση ονομάζεται Η φόρμουλα του Huygens.Καθορίζει την περίοδο των ελεύθερων ταλαντώσεων ενός μαθηματικού εκκρεμούς. Από τον τύπο προκύπτει ότι σε μικρές γωνίες απόκλισης από τη θέση ισορροπίας, η περίοδος ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς: 1) δεν εξαρτάται από τη μάζα και το πλάτος των ταλαντώσεων του. 2) ανάλογο με την τετραγωνική ρίζα του μήκους του εκκρεμούς και αντιστρόφως ανάλογο με την τετραγωνική ρίζα της επιτάχυνσης της βαρύτητας. Αυτό είναι σύμφωνο με τους πειραματικούς νόμους των μικρών ταλαντώσεων ενός μαθηματικού εκκρεμούς, που ανακαλύφθηκαν από τον G. Galileo.
Τονίζουμε ότι αυτός ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της περιόδου εάν πληρούνται δύο προϋποθέσεις ταυτόχρονα: 1) οι ταλαντώσεις του εκκρεμούς πρέπει να είναι μικρές. 2) το σημείο ανάρτησης του εκκρεμούς πρέπει να είναι σε ηρεμία ή να κινείται ομοιόμορφα σε ευθεία γραμμή σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα αναφοράς στο οποίο βρίσκεται.
Εάν το σημείο ανάρτησης ενός μαθηματικού εκκρεμούς κινείται με επιτάχυνση \(\vec a\), τότε η δύναμη τάσης του νήματος αλλάζει, γεγονός που οδηγεί σε αλλαγή της δύναμης επαναφοράς και, κατά συνέπεια, της συχνότητας και της περιόδου των ταλαντώσεων. Όπως δείχνουν οι υπολογισμοί, η περίοδος ταλάντωσης του εκκρεμούς σε αυτή την περίπτωση μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)
όπου \(~g"\) είναι η "αποτελεσματική" επιτάχυνση του εκκρεμούς σε ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Είναι ίση με το γεωμετρικό άθροισμα της επιτάχυνσης της βαρύτητας \(\vec g\) και του διανύσματος αντίθετο το διάνυσμα \(\vec a\), δηλαδή μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)
Λογοτεχνία
Aksenovich L. A. Φυσική στο γυμνάσιο: Θεωρία. Εργασίες. Τεστ: Σχολικό βιβλίο. επίδομα για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης. περιβάλλον, εκπαίδευση / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Εκδ. Κ. Σ. Φαρίνο. - Μν.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - Σ. 374-376.
