Τριγωνική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα που έχει ένα τρίγωνο στη βάση της. Το ύψος αυτής της πυραμίδας είναι η κάθετη που κατεβαίνει από την κορυφή της πυραμίδας στη βάση της.
Εύρεση του ύψους μιας πυραμίδας
Πώς να βρείτε το ύψος μιας πυραμίδας; Πολύ απλό! Για να βρείτε το ύψος οποιασδήποτε τριγωνικής πυραμίδας, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο όγκου: V = (1/3)Sh, όπου S είναι η περιοχή της βάσης, V είναι ο όγκος της πυραμίδας, h είναι το ύψος της. Από αυτόν τον τύπο, εξάγετε τον τύπο ύψους: για να βρείτε το ύψος μιας τριγωνικής πυραμίδας, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον όγκο της πυραμίδας επί 3 και, στη συνέχεια, να διαιρέσετε την τιμή που προκύπτει με το εμβαδόν της βάσης, θα είναι: h = (3V)/S. Δεδομένου ότι η βάση μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι ένα τρίγωνο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου. Αν γνωρίζουμε: το εμβαδόν του τριγώνου S και την πλευρά του z, τότε σύμφωνα με τον τύπο εμβαδού S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, όπου h το ύψος της πυραμίδας, γ είναι η άκρη του τριγώνου. τη γωνία μεταξύ των πλευρών του τριγώνου και των ίδιων των δύο πλευρών, στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: S = (1/2)γφsinQ, όπου γ, φ είναι οι πλευρές του τριγώνου, βρίσκουμε το εμβαδόν του τριγώνου. Η τιμή του ημιτόνου της γωνίας Q πρέπει να εξεταστεί στον πίνακα ημιτόνων, ο οποίος είναι διαθέσιμος στο Διαδίκτυο. Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε την τιμή του εμβαδού στον τύπο ύψους: h = (2S)/γ. Εάν η εργασία απαιτεί τον υπολογισμό του ύψους μιας τριγωνικής πυραμίδας, τότε ο όγκος της πυραμίδας είναι ήδη γνωστός.
Κανονική τριγωνική πυραμίδα
Να βρείτε το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας, δηλαδή μιας πυραμίδας στην οποία όλες οι όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα, γνωρίζοντας το μέγεθος της ακμής γ. Στην περίπτωση αυτή, οι άκρες της πυραμίδας είναι οι πλευρές των ισόπλευρων τριγώνων. Το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας θα είναι: h = γ√(2/3), όπου γ είναι η άκρη του ισόπλευρου τριγώνου, h το ύψος της πυραμίδας. Εάν το εμβαδόν της βάσης (S) είναι άγνωστο και δίνονται μόνο το μήκος της ακμής (γ) και ο όγκος (V) του πολύεδρου, τότε η απαραίτητη μεταβλητή στον τύπο από το προηγούμενο βήμα πρέπει να αντικατασταθεί από το ισοδύναμό του, το οποίο εκφράζεται ως προς το μήκος της άκρης. Το εμβαδόν ενός τριγώνου (κανονικό) είναι ίσο με το 1/4 του γινομένου του μήκους της πλευράς αυτού του τριγώνου τετραγωνισμένο με την τετραγωνική ρίζα του 3. Αντικαθιστούμε αυτόν τον τύπο αντί για το εμβαδόν της βάσης στο προηγούμενο τύπος, και λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Ο όγκος ενός τετραέδρου μπορεί να εκφραστεί μέσω του μήκους της άκρης του, στη συνέχεια από τον τύπο για τον υπολογισμό του ύψους ενός σχήματος, μπορείτε να αφαιρέσετε όλες τις μεταβλητές και να αφήσετε μόνο την πλευρά της τριγωνικής όψης του σχήματος. Ο όγκος μιας τέτοιας πυραμίδας μπορεί να υπολογιστεί διαιρώντας με το 12 από το γινόμενο το μήκος σε κύβους της όψης της με την τετραγωνική ρίζα του 2.
Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο, λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο για υπολογισμό: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Επίσης σωστό τριγωνικό πρίσμαμπορεί να εγγραφεί σε μια σφαίρα, και γνωρίζοντας μόνο την ακτίνα της σφαίρας (R) μπορεί κανείς να βρει το ύψος του ίδιου του τετραέδρου. Το μήκος της ακμής του τετραέδρου είναι: γ = 4R/√6. Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή γ με αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο και παίρνουμε τον τύπο: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Ο ίδιος τύπος μπορεί να ληφθεί γνωρίζοντας την ακτίνα (R) ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τετράεδρο. Σε αυτή την περίπτωση, το μήκος της άκρης του τριγώνου θα είναι ίσο με 12 αναλογίες μεταξύ τετραγωνική ρίζατου 6 και ακτίνας. Αντικαθιστούμε αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο και έχουμε: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Πώς να βρείτε το ύψος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας
Για να απαντήσετε στο ερώτημα πώς να βρείτε το μήκος του ύψους μιας πυραμίδας, πρέπει να ξέρετε τι είναι μια κανονική πυραμίδα. Μια τετραγωνική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα που έχει ένα τετράγωνο στη βάση της. Εάν στις συνθήκες του προβλήματος έχουμε: όγκο (V) και εμβαδόν της βάσης (S) της πυραμίδας, τότε ο τύπος για τον υπολογισμό του ύψους του πολυέδρου (h) θα είναι ο εξής - διαιρέστε τον όγκο πολλαπλασιασμένο κατά 3 από την περιοχή S: h = (3V)/S. Δεδομένης μιας τετραγωνικής βάσης μιας πυραμίδας με δεδομένο όγκο (V) και μήκος πλευράς γ, αντικαταστήστε το εμβαδόν (S) στον προηγούμενο τύπο με το τετράγωνο του μήκους της πλευράς: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Το ύψος μιας κανονικής πυραμίδας h = SO διέρχεται ακριβώς από το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση. Δεδομένου ότι η βάση αυτής της πυραμίδας είναι ένα τετράγωνο, το σημείο Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων AD και BC. Έχουμε: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Στη συνέχεια, στο ορθογώνιο τρίγωνο SOC βρίσκουμε (χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα): SO = √(SC 2 -OC 2). Τώρα ξέρετε πώς να βρείτε το ύψος μιας κανονικής πυραμίδας.
Πυραμίδα- αυτό είναι ένα πολύεδρο, στο οποίο η μία όψη - η βάση της πυραμίδας - είναι ένα αυθαίρετο πολύγωνο και τα υπόλοιπα είναι πλαϊνά πρόσωπα- τρίγωνα με κοινή κορυφή, που ονομάζεται κορυφή της πυραμίδας. Η κάθετη που πέφτει από την κορυφή της πυραμίδας στη βάση της ονομάζεται ύψος πυραμίδας. Μια πυραμίδα ονομάζεται τριγωνική, τετράγωνη κ.λπ., αν η βάση της είναι τρίγωνο, τετράγωνο κ.λπ. Μια τριγωνική πυραμίδα είναι ένα τετράεδρο - ένα τετράεδρο. Τετράγωνο - πεντάγωνο κ.λπ.
Πυραμίδα, Κόλουρη πυραμίδα
Σωστή πυραμίδα
Αν η βάση της πυραμίδας είναι κανονικό πολύγωνο και το ύψος πέφτει στο κέντρο της βάσης, τότε η πυραμίδα είναι κανονική. Σε μια κανονική πυραμίδα, όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες, όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα. Το ύψος του τριγώνου της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας ονομάζεται - αποθέμα της κανονικής πυραμίδας.
Κόλουρη πυραμίδα
Τμήμα παράλληλα με τη βάσηΗ πυραμίδα χωρίζει την πυραμίδα σε δύο μέρη. Το τμήμα της πυραμίδας μεταξύ της βάσης της και αυτού του τμήματος είναι κολοβωμένη πυραμίδα . Αυτό το τμήμα για μια κολοβωμένη πυραμίδα είναι μια από τις βάσεις της. Η απόσταση μεταξύ των βάσεων μιας κολοβωμένης πυραμίδας ονομάζεται ύψος της κολοβωμένης πυραμίδας. Μια κολοβωμένη πυραμίδα ονομάζεται κανονική εάν η πυραμίδα από την οποία προήλθε ήταν κανονική. Όλες οι πλευρικές όψεις μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας είναι ίσα ισοσκελές τραπεζοειδή. Το ύψος του τραπεζοειδούς της πλευρικής όψης μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας ονομάζεται - απόθεμα μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας.
Συνεχίζουμε να εξετάζουμε τα καθήκοντα που περιλαμβάνονται στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Έχουμε ήδη μελετήσει προβλήματα όπου δίνεται η συνθήκη και απαιτείται να βρεθεί η απόσταση μεταξύ δύο δεδομένων σημείων ή μιας γωνίας.
Μια πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο, η βάση του οποίου είναι ένα πολύγωνο, οι υπόλοιπες όψεις είναι τρίγωνα και έχουν μια κοινή κορυφή.
Μια κανονική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα στη βάση της οποίας βρίσκεται ένα κανονικό πολύγωνο και η κορυφή της προβάλλεται στο κέντρο της βάσης.
Μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα - η βάση είναι ένα τετράγωνο Η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (τετράγωνο).
ML - αποθέμα
∠MLO - διεδρική γωνία στη βάση της πυραμίδας
∠MCO - γωνία μεταξύ του πλευρικού άκρου και του επιπέδου της βάσης της πυραμίδας
Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε προβλήματα για την επίλυση μιας κανονικής πυραμίδας. Πρέπει να βρείτε κάποιο στοιχείο, πλευρική επιφάνεια, όγκο, ύψος. Φυσικά, πρέπει να γνωρίζετε το Πυθαγόρειο θεώρημα, τον τύπο για το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας πυραμίδας και τον τύπο για την εύρεση του όγκου μιας πυραμίδας.
Στο άρθρο Το "" παρουσιάζει τους τύπους που είναι απαραίτητοι για την επίλυση προβλημάτων στη στερεομετρία. Λοιπόν, οι εργασίες:
SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης,μικρόκορυφή, ΕΤΣΙ = 51, A.C.= 136. Βρείτε την πλευρική άκρηS.C..
ΣΕ σε αυτή την περίπτωσηη βάση είναι τετράγωνο. Αυτό σημαίνει ότι οι διαγώνιοι AC και BD είναι ίσες, τέμνονται και διχοτομούνται από το σημείο τομής. Σημειώστε ότι σε μια κανονική πυραμίδα το ύψος που πέφτει από την κορυφή της περνά από το κέντρο της βάσης της πυραμίδας. Άρα SO είναι το ύψος και το τρίγωνοSOCορθογώνιος. Τότε σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:
Πώς να εξαγάγετε τη ρίζα από μεγάλο αριθμό.
Απάντηση: 85
Αποφασίστε μόνοι σας:
Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης, μικρόκορυφή, ΕΤΣΙ = 4, A.C.= 6. Βρείτε το πλευρικό άκρο S.C..
Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης, μικρόκορυφή, S.C. = 5, A.C.= 6. Βρείτε το μήκος του τμήματος ΕΤΣΙ.
Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης, μικρόκορυφή, ΕΤΣΙ = 4, S.C.= 5. Βρείτε το μήκος του τμήματος A.C..
SABC R- μέση της πλευράς π.Χ., μικρό- κορυφή. Είναι γνωστό ότι ΑΒ= 7, α S.R.= 16. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας.
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι ίσο με το μισό του γινόμενου της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος (απόθεμα είναι το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή της):
Ή μπορούμε να πούμε αυτό: το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τριών πλευρικών όψεων. Οι πλευρικές όψεις σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα είναι τρίγωνα ίσου εμβαδού. Σε αυτή την περίπτωση:
Απάντηση: 168
Αποφασίστε μόνοι σας:
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC R- μέση της πλευράς π.Χ., μικρό- κορυφή. Είναι γνωστό ότι ΑΒ= 1, α S.R.= 2. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας.
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC R- μέση της πλευράς π.Χ., μικρό- κορυφή. Είναι γνωστό ότι ΑΒ= 1, και το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι 3. Βρείτε το μήκος του τμήματος S.R..
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC μεγάλο- μέση της πλευράς π.Χ., μικρό- κορυφή. Είναι γνωστό ότι SL= 2, και το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι 3. Βρείτε το μήκος του τμήματος ΑΒ.
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC Μ. Εμβαδόν τριγώνου αλφάβητοείναι 25, ο όγκος της πυραμίδας είναι 100. Βρείτε το μήκος του τμήματος MS.
Η βάση της πυραμίδας είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Γι' αυτό Μείναι το κέντρο της βάσης, καιMS- ύψος κανονικής πυραμίδαςSABC. Όγκος της πυραμίδας SABCίσον: προβολή λύσης
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABCοι διάμεσοι της βάσης τέμνονται στο σημείο Μ. Εμβαδόν τριγώνου αλφάβητοισούται με 3, MS= 1. Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABCοι διάμεσοι της βάσης τέμνονται στο σημείο Μ. Ο όγκος της πυραμίδας είναι 1, MS= 1. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου αλφάβητο.
Ας τελειώσουμε εδώ. Όπως μπορείτε να δείτε, τα προβλήματα λύνονται σε ένα ή δύο βήματα. Στο μέλλον, θα εξετάσουμε και άλλα προβλήματα από αυτό το κομμάτι, όπου δίνονται φορείς επανάστασης, μην το χάσετε!
Καλή σου τύχη!
Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.
P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν μου πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.
Αυτό το εκπαιδευτικό βίντεο θα βοηθήσει τους χρήστες να αποκτήσουν μια ιδέα για το θέμα της Πυραμίδας. Σωστή πυραμίδα. Σε αυτό το μάθημα θα εξοικειωθούμε με την έννοια της πυραμίδας και θα δώσουμε έναν ορισμό. Ας εξετάσουμε τι είναι μια κανονική πυραμίδα και ποιες ιδιότητες έχει. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε το θεώρημα για την πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας.
Σε αυτό το μάθημα θα εξοικειωθούμε με την έννοια της πυραμίδας και θα της δώσουμε έναν ορισμό.
Θεωρήστε ένα πολύγωνο Α 1 Α 2...A n, που βρίσκεται στο επίπεδο α, και το σημείο Π, το οποίο δεν βρίσκεται στο επίπεδο α (Εικ. 1). Ας συνδέσουμε τις τελείες Πμε κορυφές Α 1, Α 2, Α 3, … A n. παίρνουμε nτρίγωνα: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rκαι ούτω καθεξής.
Ορισμός. Πολύεδρο RA 1 A 2 ...A n, αποτελείται από n-πλατεία Α 1 Α 2...A nΚαι nτρίγωνα RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 λέγεται n-πυραμίδα άνθρακα. Ρύζι. 1.
Ρύζι. 1
Σκεφτείτε μια τετράγωνη πυραμίδα PABCD(Εικ. 2).
R- η κορυφή της πυραμίδας.
ABCD- τη βάση της πυραμίδας.
RA- πλαϊνή πλευρά.
ΑΒ- νεύρωση βάσης.
Από το σημείο Rας ρίξουμε την κάθετη RNστο επίπεδο βάσης ABCD. Η σχεδιαζόμενη κάθετη είναι το ύψος της πυραμίδας.
Ρύζι. 2
Η πλήρης επιφάνεια της πυραμίδας αποτελείται από την πλευρική επιφάνεια, δηλαδή την περιοχή όλων των πλευρικών όψεων και την περιοχή της βάσης:
S πλήρης = S πλευρά + S κύρια
Μια πυραμίδα ονομάζεται σωστή αν:
- Η βάση του είναι ένα κανονικό πολύγωνο.
- το τμήμα που συνδέει την κορυφή της πυραμίδας με το κέντρο της βάσης είναι το ύψος της.
Επεξήγηση χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας
Σκεφτείτε μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα PABCD(Εικ. 3).
R- η κορυφή της πυραμίδας. Βάση της πυραμίδας ABCD- κανονικό τετράπλευρο, δηλαδή τετράγωνο. Τελεία ΓΙΑ, το σημείο τομής των διαγωνίων, είναι το κέντρο του τετραγώνου. Μέσα, ROείναι το ύψος της πυραμίδας.
Ρύζι. 3
Εξήγηση: στο σωστό nΣε ένα τρίγωνο, το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου και το κέντρο του κυκλικού κύκλου συμπίπτουν. Αυτό το κέντρο ονομάζεται κέντρο του πολυγώνου. Μερικές φορές λένε ότι η κορυφή προβάλλεται στο κέντρο.
Το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή της ονομάζεται αποθεμακαι ορίζεται η α.
1. όλες οι πλευρικές ακμές μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσες.
2. Οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελή τρίγωνα.
Θα δώσουμε μια απόδειξη αυτών των ιδιοτήτων χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας.
Δεδομένος: PABCD- κανονική τετράγωνη πυραμίδα,
ABCD- τετράγωνο,
RO- ύψος της πυραμίδας.
Αποδεικνύω:
1. RA = PB = RS = PD
2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Βλέπε Εικ. 4.
Ρύζι. 4
Απόδειξη.
RO- ύψος της πυραμίδας. Στρέιτ δηλαδή ROκάθετο στο επίπεδο αλφάβητο, και επομένως άμεση JSC, VO, SOΚαι ΚΑΝΩξαπλωμένος σε αυτό. Τρίγωνα λοιπόν ROA, ROV, ROS, ROD- ορθογώνιο.
Θεωρήστε ένα τετράγωνο ABCD. Από τις ιδιότητες ενός τετραγώνου προκύπτει ότι AO = VO = CO = ΚΑΝΩ.
Στη συνέχεια τα ορθογώνια τρίγωνα ROA, ROV, ROS, RODπόδι RO- γενική και πόδια JSC, VO, SOΚαι ΚΑΝΩείναι ίσα, που σημαίνει ότι αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα σε δύο πλευρές. Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει η ισότητα των τμημάτων, RA = PB = RS = PD.Το σημείο 1 έχει αποδειχθεί.
Τμήματα ΑΒΚαι Ήλιοςείναι ίσες επειδή είναι πλευρές του ίδιου τετραγώνου, RA = PB = RS. Τρίγωνα λοιπόν AVRΚαι VSR -ισοσκελές και ίσοι στις τρεις πλευρές.
Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι τα τρίγωνα ABP, VCP, CDP, DAPείναι ισοσκελές και ίσα, όπως απαιτείται να αποδεικνύεται στην παράγραφο 2.
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσο με το μισό γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος:
Για να το αποδείξουμε αυτό, ας επιλέξουμε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα.
Δεδομένος: RAVS- κανονική τριγωνική πυραμίδα.
AB = BC = AC.
RO- ύψος.
Αποδεικνύω: 
. Βλέπε Εικ. 5.
Ρύζι. 5
Απόδειξη.
RAVS- κανονική τριγωνική πυραμίδα. Ήτοι ΑΒ= AC = π.Χ. Αφήνω ΓΙΑ- κέντρο του τριγώνου αλφάβητο, Τότε ROείναι το ύψος της πυραμίδας. Στη βάση της πυραμίδας βρίσκεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο αλφάβητο. Σημειώστε ότι 
.
Τρίγωνα RAV, RVS, RSA- ίσα ισοσκελή τρίγωνα (κατά ιδιότητα). Μια τριγωνική πυραμίδα έχει τρεις πλευρικές όψεις: RAV, RVS, RSA. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας είναι:
S πλευρά = 3S RAW
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Η ακτίνα ενός κύκλου που εγγράφεται στη βάση μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 3 m, το ύψος της πυραμίδας είναι 4 m. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας.
Δεδομένος: κανονική τετράγωνη πυραμίδα ABCD,
ABCD- τετράγωνο,
r= 3 m,
RO- ύψος της πυραμίδας,
RO= 4 μ.
Εύρημα: S πλευρά. Βλέπε Εικ. 6.
Ρύζι. 6
Διάλυμα.
Σύμφωνα με το αποδεδειγμένο θεώρημα, .
Ας βρούμε πρώτα την πλευρά της βάσης ΑΒ. Γνωρίζουμε ότι η ακτίνα ενός κύκλου που εγγράφεται στη βάση μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 3 m.
Στη συνέχεια, μ.
Βρείτε την περίμετρο του τετραγώνου ABCDμε πλευρά 6 m:
Θεωρήστε ένα τρίγωνο BCD. Αφήνω Μ- στη μέση της πλευράς DC. Επειδή ΓΙΑ- μέση BD, Αυτό 
(m).
Τρίγωνο DPC- ισοσκελές. Μ- μέση DC. Ήτοι, RM- διάμεσος, και επομένως το ύψος στο τρίγωνο DPC. Τότε RM- αποθέμα της πυραμίδας.
RO- ύψος της πυραμίδας. Μετά, ευθεία ROκάθετο στο επίπεδο αλφάβητο, και επομένως άμεση ΟΜ, ξαπλωμένος σε αυτό. Ας βρούμε το απόθεμα RMαπό ορθογώνιο τρίγωνο ROM.
Τώρα μπορούμε να βρούμε πλευρική επιφάνειαπυραμίδες:
Απάντηση: 60 m2.
Η ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από τη βάση μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι ίση με m Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι 18 m 2. Βρείτε το μήκος του αποθέματος.
Δεδομένος: ABCP- κανονική τριγωνική πυραμίδα,
AB = BC = SA,
R= m,
S πλευρά = 18 m2.
Εύρημα: . Βλέπε Εικ. 7.
Ρύζι. 7
Διάλυμα.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο αλφάβητοΔίνεται η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Ας βρούμε μια πλευρά ΑΒαυτό το τρίγωνο χρησιμοποιώντας το θεώρημα των ημιτόνων.
Γνωρίζοντας την πλευρά ενός κανονικού τριγώνου (m), βρίσκουμε την περίμετρό του.
Με το θεώρημα της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας, όπου η α- αποθέμα της πυραμίδας. Τότε:
Απάντηση: 4 μ.
Έτσι, εξετάσαμε τι είναι μια πυραμίδα, τι είναι μια κανονική πυραμίδα και αποδείξαμε το θεώρημα για την πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας. Στο επόμενο μάθημα θα εξοικειωθούμε με την κολοβωμένη πυραμίδα.
Αναφορές
- Γεωμετρία. Τάξεις 10-11: εγχειρίδιο για μαθητές εκπαιδευτικά ιδρύματα(βασικό και επίπεδα προφίλ) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5η έκδ., αναθ. και επιπλέον - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ.
- Γεωμετρία. 10-11 τάξη: Εγχειρίδιο γενικής παιδείας εκπαιδευτικά ιδρύματα/ Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 σελ.: ill.
- Γεωμετρία. 10η τάξη: Σχολικό εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης με εμβάθυνση και εξειδικευμένη μελέτη των μαθηματικών /Ε. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6η έκδ., στερεότυπο. - M.: Bustard, 008. - 233 σελ.: ill.
- Διαδικτυακή πύλη "Yaklass" ()
- Διαδικτυακή πύλη «Φεστιβάλ παιδαγωγικών ιδεών «Πρωτο Σεπτέμβρη» ()
- Διαδικτυακή πύλη "Slideshare.net" ()
Σχολική εργασία στο σπίτι
- Μπορεί ένα κανονικό πολύγωνο να είναι η βάση μιας ακανόνιστης πυραμίδας;
- Να αποδείξετε ότι οι ασύνδετες ακμές μιας κανονικής πυραμίδας είναι κάθετες.
- Βρείτε την τιμή της διεδρικής γωνίας στην πλευρά της βάσης μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας αν το απόθεμα της πυραμίδας είναι ίσο με την πλευρά της βάσης της.
- RAVS- κανονική τριγωνική πυραμίδα. Κατασκευάστε τη γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας στη βάση της πυραμίδας.
Έννοια της πυραμίδας
Ορισμός 1
Γεωμετρικό σχήμα, που σχηματίζεται από ένα πολύγωνο και ένα σημείο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο που περιέχει αυτό το πολύγωνο, που συνδέεται με όλες τις κορυφές του πολυγώνου ονομάζεται πυραμίδα (Εικ. 1).
Το πολύγωνο από το οποίο είναι φτιαγμένη η πυραμίδα ονομάζεται βάση της πυραμίδας τα τρίγωνα που προκύπτουν, όταν συνδέονται με ένα σημείο, είναι οι πλευρές της πυραμίδας, οι πλευρές των τριγώνων είναι οι πλευρές της πυραμίδας και το κοινό σημείο. σε όλα τα τρίγωνα βρίσκεται η κορυφή της πυραμίδας.
Τύποι πυραμίδων
Ανάλογα με τον αριθμό των γωνιών στη βάση της πυραμίδας, μπορεί να ονομαστεί τριγωνική, τετραγωνική και ούτω καθεξής (Εικ. 2).
Εικόνα 2.
Ένας άλλος τύπος πυραμίδας είναι η κανονική πυραμίδα.
Ας εισαγάγουμε και ας αποδείξουμε την ιδιότητα μιας κανονικής πυραμίδας.
Θεώρημα 1
Όλες οι πλευρικές όψεις μιας κανονικής πυραμίδας είναι ισοσκελές τρίγωνα που είναι ίσα μεταξύ τους.
Απόδειξη.
Θεωρήστε μια κανονική $n-$gonal πυραμίδα με κορυφή $S$ ύψους $h=SO$. Ας σχεδιάσουμε έναν κύκλο γύρω από τη βάση (Εικ. 4).
Εικόνα 4.
Θεωρήστε το τρίγωνο $SOA$. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε
Προφανώς, κάθε πλευρικό άκρο θα οριστεί με αυτόν τον τρόπο. Κατά συνέπεια, όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες μεταξύ τους, δηλαδή όλες οι πλευρικές όψεις είναι ισοσκελές τρίγωνα. Ας αποδείξουμε ότι είναι ίσοι μεταξύ τους. Δεδομένου ότι η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο, οι βάσεις όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσες μεταξύ τους. Κατά συνέπεια, όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίσες σύμφωνα με το III κριτήριο της ισότητας των τριγώνων.
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Ας εισαγάγουμε τώρα τον ακόλουθο ορισμό που σχετίζεται με την έννοια της κανονικής πυραμίδας.
Ορισμός 3
Το απόθεμα μιας κανονικής πυραμίδας είναι το ύψος της πλευρικής της όψης.
Προφανώς, από το Θεώρημα Πρώτο, όλα τα αποθέματα είναι ίσα μεταξύ τους.
Θεώρημα 2
Η πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας προσδιορίζεται ως το γινόμενο της ημιπεριμέτρου της βάσης και του αποθέματος.
Απόδειξη.
Ας υποδηλώσουμε την πλευρά της βάσης της $n-$gonal πυραμίδας με $a$ και το απόθεμα με $d$. Επομένως, η περιοχή της πλευρικής όψης είναι ίση με
Αφού, σύμφωνα με το Θεώρημα 1, όλες οι πλευρές είναι ίσες, τότε
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Ένας άλλος τύπος πυραμίδας είναι μια κολοβωμένη πυραμίδα.
Ορισμός 4
Εάν ένα επίπεδο παράλληλο προς τη βάση του τραβηχτεί μέσω μιας συνηθισμένης πυραμίδας, τότε το σχήμα που σχηματίζεται μεταξύ αυτού του επιπέδου και του επιπέδου της βάσης ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα (Εικ. 5).
Εικόνα 5. Κόλουρη πυραμίδα
Οι πλευρικές όψεις της κολοβωμένης πυραμίδας είναι τραπεζοειδείς.
Θεώρημα 3
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας προσδιορίζεται ως το γινόμενο του αθροίσματος των ημιπεριμέτρων των βάσεων και του αποθέματος.
Απόδειξη.
Ας υποδηλώσουμε τις πλευρές των βάσεων της πυραμίδας $n-$gonal με $a\ και\ b$, αντίστοιχα, και το απόθεμα με $d$. Επομένως, η περιοχή της πλευρικής όψης είναι ίση με
Αφού όλες οι πλευρές είναι ίσες, λοιπόν
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Δείγμα εργασίας
Παράδειγμα 1
Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κόλουρης τριγωνικής πυραμίδας εάν λαμβάνεται από μια κανονική πυραμίδα με πλευρά βάσης 4 και απόθεμα 5 κόβοντας ένα επίπεδο που διέρχεται από τη μέση γραμμή των πλευρικών όψεων.
Διάλυμα.
Χρησιμοποιώντας το θεώρημα της μέσης γραμμής, βρίσκουμε ότι η άνω βάση της κολοβωμένης πυραμίδας είναι ίση με $4\cdot \frac(1)(2)=2$ και το απόθεμα είναι ίσο με $5\cdot \frac(1)(2) =2,5$.
Στη συνέχεια, με το Θεώρημα 3, παίρνουμε
