Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός κυλίνδρου είναι ίσο με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου του οποίου η βάση είναι 2π r, και το ύψος είναι ίσο με το ύψος του κυλίνδρου η, δηλαδή 2π rh.
Η συνολική επιφάνεια του κυλίνδρου θα είναι: 2π r 2+2π rh= 2π r(r+ η).
Λαμβάνεται η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου περιοχή σάρωσηςτην πλευρική του επιφάνεια.
Επομένως, το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός δεξιού κυκλικού κυλίνδρου είναι ίσο με το εμβαδόν του αντίστοιχου ορθογωνίου (Εικ.) και υπολογίζεται από τον τύπο
Π.Χ. = 2πRH, (1)
Αν προσθέσουμε το εμβαδόν των δύο βάσεων του στο εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου, παίρνουμε το εμβαδόν πλήρη επιφάνειακύλινδρος
S γεμάτο \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R).
Ευθύγραμμος όγκος κυλίνδρου
Θεώρημα. Ο όγκος ενός δεξιού κυλίνδρου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του και του ύψους του , δηλ.όπου Q είναι το εμβαδόν βάσης και H το ύψος του κυλίνδρου.
Δεδομένου ότι η περιοχή βάσης του κυλίνδρου είναι Q, υπάρχουν ακολουθίες περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων πολυγώνων με εμβαδά Q nκαι Q' nτέτοια που
\(\lim_(n \δεξιό βέλος \infty)\) Q n= \(\lim_(n \δεξιό βέλος \infty)\) Q' n= Q.
Ας κατασκευάσουμε ακολουθίες πρισμάτων των οποίων οι βάσεις είναι τα περιγραφέντα και εγγεγραμμένα πολύγωνα που εξετάστηκαν παραπάνω, και των οποίων οι πλευρικές ακμές είναι παράλληλες με τη γεννήτρια του δεδομένου κυλίνδρου και έχουν μήκος Η. Αυτά τα πρίσματα περιγράφονται και εγγράφονται για τον δεδομένο κύλινδρο. Οι όγκοι τους βρίσκονται από τους τύπους
V n= Q n H και V' n= Q' n H.
Συνεπώς,
V= \(\lim_(n \δεξιό βέλος \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \δεξιό βέλος \infty)\) Q' n H = QH.
Συνέπεια.
Ο όγκος ενός δεξιού κυκλικού κυλίνδρου υπολογίζεται από τον τύπο
V = π R 2 H
όπου R είναι η ακτίνα της βάσης και H το ύψος του κυλίνδρου.
Δεδομένου ότι η βάση ενός κυκλικού κυλίνδρου είναι ένας κύκλος ακτίνας R, τότε Q \u003d π R 2, και επομένως
Κύλινδρος (προέρχεται από Ελληνικά, από τις λέξεις "παγοδρόμιο", "κύλινδρος") είναι ένα γεωμετρικό σώμα, το οποίο περιορίζεται εξωτερικά από μια επιφάνεια που ονομάζεται κυλινδρικό ένα και δύο επίπεδα. Αυτά τα επίπεδα τέμνουν την επιφάνεια του σχήματος και είναι παράλληλα μεταξύ τους.
Κυλινδρική επιφάνεια είναι μια επιφάνεια που προκύπτει από μια ευθεία γραμμή στο χώρο. Αυτές οι κινήσεις είναι τέτοιες που το επιλεγμένο σημείο αυτής της ευθείας γραμμής κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης επίπεδου τύπου. Μια τέτοια ευθεία γραμμή ονομάζεται γεννήτρια και μια καμπύλη γραμμή ονομάζεται οδηγός.
Ο κύλινδρος αποτελείται από ένα ζεύγος βάσεων και μια πλευρική κυλινδρική επιφάνεια. Οι κύλινδροι είναι διαφόρων τύπων:
1. Κυκλικός, ευθύς κύλινδρος. Για έναν τέτοιο κύλινδρο, η βάση και ο οδηγός είναι κάθετοι στη γεννήτρια και υπάρχει
2. Κλιμένος κύλινδρος. Έχει γωνία μεταξύ της γραμμής παραγωγής και η βάση δεν είναι ευθεία.
3. Ένας κύλινδρος διαφορετικού σχήματος. Υπερβολικά, ελλειπτικά, παραβολικά και άλλα.
Η περιοχή ενός κυλίνδρου, καθώς και η συνολική επιφάνεια οποιουδήποτε κυλίνδρου, βρίσκεται προσθέτοντας τις περιοχές των βάσεων αυτού του σχήματος και το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας.
Ο τύπος για τον υπολογισμό της συνολικής επιφάνειας ενός κυλίνδρου για έναν κυκλικό, ευθύ κύλινδρο είναι:
Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι λίγο πιο δύσκολο να βρεθεί από το εμβαδόν ολόκληρου του κυλίνδρου· υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας το μήκος της γεννήτριας με την περίμετρο του τμήματος που σχηματίζεται από το επίπεδο που είναι κάθετο στο generatrix.
Τα δεδομένα κυλίνδρου για έναν κυκλικό, ευθύ κύλινδρο αναγνωρίζονται από την ανάπτυξη αυτού του αντικειμένου.
Ανάπτυξη είναι ένα ορθογώνιο που έχει ύψος h και μήκος P, που είναι ίσο με την περίμετρο της βάσης.
Ως εκ τούτου προκύπτει ότι πλαϊνή περιοχήΟ κύλινδρος είναι ίσος με το εμβαδόν της σάρωσης και μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο:
Αν πάρουμε έναν κυκλικό, ευθύ κύλινδρο, τότε για αυτόν:
P = 2p R και Sb = 2p Rh.
Εάν ο κύλινδρος είναι κεκλιμένος, τότε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας θα πρέπει να είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους της γεννήτριας του και της περιμέτρου της τομής, η οποία είναι κάθετη σε αυτήν τη γεννήτρια.
Δυστυχώς, δεν υπάρχει απλός τύπος για την έκφραση της πλευρικής επιφάνειας ενός κεκλιμένου κυλίνδρου ως προς το ύψος και τις παραμέτρους βάσης του.
Για να υπολογίσετε έναν κύλινδρο, πρέπει να γνωρίζετε μερικά στοιχεία. Αν ένα τμήμα με το επίπεδό του τέμνει τις βάσεις, τότε ένα τέτοιο τμήμα είναι πάντα ένα ορθογώνιο. Αλλά αυτά τα ορθογώνια θα είναι διαφορετικά, ανάλογα με τη θέση του τμήματος. Η μία από τις πλευρές του αξονικού τμήματος του σχήματος, που είναι κάθετη στις βάσεις, είναι ίση με το ύψος και η άλλη είναι ίση με τη διάμετρο της βάσης του κυλίνδρου. Και η περιοχή ενός τέτοιου τμήματος, αντίστοιχα, είναι ίση με το γινόμενο της μιας πλευράς του ορθογωνίου από την άλλη, κάθετη προς την πρώτη, ή το γινόμενο του ύψους αυτού του σχήματος με τη διάμετρο της βάσης του.
Εάν η τομή είναι κάθετη στις βάσεις του σχήματος, αλλά δεν διέρχεται από τον άξονα περιστροφής, τότε η περιοχή αυτού του τμήματος θα είναι ίση με το γινόμενο του ύψους αυτού του κυλίνδρου και μιας ορισμένης χορδής. Για να πάρετε μια χορδή, πρέπει να φτιάξετε έναν κύκλο στη βάση του κυλίνδρου, να σχεδιάσετε μια ακτίνα και να αφήσετε πάνω του την απόσταση στην οποία βρίσκεται το τμήμα. Και από αυτό το σημείο πρέπει να σχεδιάσετε κάθετες στην ακτίνα από την τομή με τον κύκλο. Τα σημεία τομής συνδέονται με το κέντρο. Και η βάση του τριγώνου είναι η επιθυμητή, η οποία αναζητείται για ήχους όπως αυτός: "Το άθροισμα των τετραγώνων των δύο ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας":
C2 = A2 + B2.
Εάν το τμήμα δεν επηρεάζει τη βάση του κυλίνδρου και ο ίδιος ο κύλινδρος είναι κυκλικός και ευθύς, τότε η περιοχή αυτού του τμήματος βρίσκεται ως η περιοχή του κύκλου.
Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι:
S env. = 2p R2.
Για να βρείτε το R, πρέπει να διαιρέσετε το μήκος του C με 2p:
R = C \ 2n, όπου n είναι το pi, μια μαθηματική σταθερά που υπολογίζεται ότι λειτουργεί με δεδομένα κύκλου και ίση με 3,14.
Πώς να υπολογίσετε την επιφάνεια ενός κυλίνδρου είναι το θέμα αυτού του άρθρου. Σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα, πρέπει να ξεκινήσετε με την εισαγωγή δεδομένων, να προσδιορίσετε τι είναι γνωστό και τι να χειριστείτε στο μέλλον και μόνο στη συνέχεια να προχωρήσετε απευθείας στον υπολογισμό.
Αυτό το ογκώδες σώμα είναι γεωμετρικό σχήμακυλινδρικό, οριοθετημένο στο πάνω και στο κάτω μέρος από δύο παράλληλα επίπεδα. Αν εφαρμόσετε λίγη φαντασία, θα παρατηρήσετε ότι ένα γεωμετρικό σώμα σχηματίζεται περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο γύρω από έναν άξονα, με τον άξονα να είναι μία από τις πλευρές του.
Από αυτό προκύπτει ότι η περιγραφόμενη καμπύλη πάνω και κάτω από τον κύλινδρο θα είναι ένας κύκλος, ο κύριος δείκτης του οποίου είναι η ακτίνα ή η διάμετρος.
Επιφάνεια κυλίνδρου - Online Υπολογιστής
Αυτή η συνάρτηση τελικά διευκολύνει τη διαδικασία υπολογισμού και όλα καταλήγουν στην αυτόματη αντικατάσταση των δεδομένων τιμών του ύψους και της ακτίνας (διάμετρος) της βάσης του σχήματος. Το μόνο που απαιτείται είναι να προσδιορίσετε με ακρίβεια τα δεδομένα και να μην κάνετε λάθη κατά την εισαγωγή αριθμών.
Επιφάνεια της πλευράς του κυλίνδρου
Πρώτα πρέπει να φανταστείτε πώς φαίνεται το σκούπισμα σε δισδιάστατο χώρο.
Αυτό δεν είναι τίποτα άλλο από ένα ορθογώνιο, η μία πλευρά του οποίου είναι ίση με την περιφέρεια. Η φόρμουλα του είναι γνωστή από αμνημονεύτων χρόνων - 2π *r, όπου rείναι η ακτίνα του κύκλου. Η άλλη πλευρά του ορθογωνίου είναι ίση με το ύψος η. Δεν θα είναι δύσκολο να βρείτε αυτό που ψάχνετε.
μικρόπλευρά= 2π *r*h,
όπου αριθμός π = 3,14.
Πλήρης επιφάνεια ενός κυλίνδρου
Για να βρείτε τη συνολική επιφάνεια του κυλίνδρου, πρέπει να πάρετε S πλευράπροσθέστε τα εμβαδά δύο κύκλων, το πάνω και το κάτω μέρος του κυλίνδρου, τα οποία υπολογίζονται από τον τύπο S o =2π*r2.
Ο τελικός τύπος μοιάζει με αυτό:
μικρόπάτωμα\u003d 2π * r 2+ 2π*r*h.
Εμβαδόν κυλίνδρου - τύπος ως προς τη διάμετρο
Για να διευκολυνθούν οι υπολογισμοί, μερικές φορές είναι απαραίτητο να γίνουν υπολογισμοί μέσω της διαμέτρου. Για παράδειγμα, υπάρχει ένα κομμάτι ενός κοίλου σωλήνα γνωστής διαμέτρου.
Χωρίς να ταλαιπωρούμαστε με περιττούς υπολογισμούς, έχουμε έτοιμη φόρμουλα. Η Άλγεβρα για την 5η τάξη έρχεται στη διάσωση.
μικρόφύλο = 2π*r 2 + 2 π*r*h= 2 π*δ 2 /4 + 2 π*η*δ/2 = π*ρε 2 /2 + π *d*h,
Αντί rσε πλήρης φόρμουλαπρέπει να εισαγάγετε μια τιμή r=δ/2.
Παραδείγματα υπολογισμού του εμβαδού ενός κυλίνδρου
Οπλισμένοι με γνώση, ας περάσουμε στην πράξη.
Παράδειγμα 1 Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την περιοχή ενός κολοβωμένου τεμαχίου σωλήνα, δηλαδή ενός κυλίνδρου.
Έχουμε r = 24 mm, h = 100 mm. Πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο ως προς την ακτίνα:
S όροφος \u003d 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 \u003d 3617,28 + 15072 \u003d 18689,28 (mm 2).
Μεταφράζουμε στο συνηθισμένο m 2 και παίρνουμε 0,01868928, περίπου 0,02 m 2.
Παράδειγμα 2 Απαιτείται να βρεθεί η περιοχή της εσωτερικής επιφάνειας του σωλήνα σόμπας αμιάντου, τα τοιχώματα του οποίου είναι επενδεδυμένα με πυρίμαχα τούβλα.
Τα δεδομένα είναι τα εξής: διάμετρος 0,2 m; ύψος 2 μ. Χρησιμοποιούμε τον τύπο μέσω της διαμέτρου:
S όροφος \u003d 3,14 * 0,2 2 / 2 + 3,14 * 0,2 * 2 \u003d 0,0628 + 1,256 \u003d 1,3188 m 2.
Παράδειγμα 3 Πώς να μάθετε πόσο υλικό χρειάζεται για να ράψετε μια τσάντα, r \u003d 1 m και ύψος 1 m.
Μια στιγμή, υπάρχει μια φόρμουλα:
S πλευρά \u003d 2 * 3,14 * 1 * 1 \u003d 6,28 m 2.
συμπέρασμα
Στο τέλος του άρθρου, προέκυψε το ερώτημα: είναι πραγματικά απαραίτητοι όλοι αυτοί οι υπολογισμοί και οι μεταφράσεις μιας αξίας σε μια άλλη; Γιατί όλα αυτά είναι απαραίτητα και το σημαντικότερο, για ποιον; Αλλά μην αμελήσετε και ξεχάσετε απλές φόρμουλες από το λύκειο.
Ο κόσμος έχει σταθεί και θα σταθεί στη στοιχειώδη γνώση, συμπεριλαμβανομένων των μαθηματικών. Και, όταν ξεκινάτε κάποια σημαντική εργασία, δεν είναι ποτέ περιττό να ανανεώνετε τα δεδομένα των υπολογισμών στη μνήμη, εφαρμόζοντάς τα στην πράξη με μεγάλη επίδραση. Ακρίβεια - η ευγένεια των βασιλιάδων.
Ο κύλινδρος είναι ένα σχήμα που αποτελείται από μια κυλινδρική επιφάνεια και δύο κύκλους διατεταγμένους παράλληλα. Ο υπολογισμός του εμβαδού ενός κυλίνδρου είναι ένα πρόβλημα στον γεωμετρικό κλάδο των μαθηματικών, το οποίο λύνεται πολύ απλά. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την επίλυσή του, οι οποίες ως αποτέλεσμα καταλήγουν πάντα σε έναν τύπο.
Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός κυλίνδρου - κανόνες υπολογισμού
- Για να μάθετε την περιοχή του κυλίνδρου, πρέπει να προσθέσετε δύο περιοχές βάσης με την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας: S \u003d S πλευρά. + 2 S κύρια. Σε μια πιο λεπτομερή έκδοση, αυτός ο τύπος μοιάζει με αυτό: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
- Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός δεδομένου γεωμετρικού σώματος μπορεί να υπολογιστεί εάν είναι γνωστά το ύψος του και η ακτίνα του κύκλου που βρίσκεται κάτω από τη βάση. ΣΤΟ αυτή η υπόθεσηείναι δυνατόν να εκφραστεί η ακτίνα από την περιφέρεια ενός κύκλου, αν είναι δεδομένη. Το ύψος μπορεί να βρεθεί εάν η τιμή της γεννήτριας καθορίζεται στη συνθήκη. Σε αυτήν την περίπτωση, η γεννήτρια θα είναι ίση με το ύψος. Πλευρικός τύπος δεδομένο σώμαμοιάζει με αυτό: S= 2 π rh.
- Το εμβαδόν της βάσης υπολογίζεται από τον τύπο για την εύρεση του εμβαδού ενός κύκλου: S osn= π r 2 . Σε ορισμένα προβλήματα μπορεί να μην δίνεται η ακτίνα, αλλά δίνεται η περιφέρεια. Με αυτόν τον τύπο, η ακτίνα εκφράζεται αρκετά εύκολα. С=2π r, r= С/2π. Πρέπει επίσης να θυμόμαστε ότι η ακτίνα είναι το ήμισυ της διαμέτρου.
- Κατά την εκτέλεση όλων αυτών των υπολογισμών, ο αριθμός π συνήθως δεν μεταφράζεται σε 3,14159 ... Απλώς πρέπει να τον προσθέσετε δίπλα στην αριθμητική τιμή που προέκυψε ως αποτέλεσμα των υπολογισμών.
- Επιπλέον, είναι απαραίτητο μόνο να πολλαπλασιάσετε την περιοχή που βρέθηκε της βάσης κατά 2 και να προσθέσετε στον αριθμό που προκύπτει την υπολογιζόμενη περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του σχήματος.
- Εάν το πρόβλημα υποδεικνύει ότι ο κύλινδρος έχει αξονικό τμήμα και αυτό είναι ορθογώνιο, τότε η λύση θα είναι ελαφρώς διαφορετική. Σε αυτή την περίπτωση, το πλάτος του ορθογωνίου θα είναι η διάμετρος του κύκλου που βρίσκεται στη βάση του σώματος. Το μήκος του σχήματος θα είναι ίσο με τη γεννήτρια ή το ύψος του κυλίνδρου. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τις επιθυμητές τιμές και να τις αντικαταστήσετε σε έναν ήδη γνωστό τύπο. Σε αυτή την περίπτωση, το πλάτος του ορθογωνίου πρέπει να διαιρεθεί με δύο για να βρεθεί η περιοχή της βάσης. Για να βρεθεί η πλευρική επιφάνεια, το μήκος πολλαπλασιάζεται με δύο ακτίνες και με τον αριθμό π.
- Μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός δεδομένου γεωμετρικού σώματος μέσω του όγκου του. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εξαγάγετε την τιμή που λείπει από τον τύπο V=π r 2 h.
- Δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο στον υπολογισμό του εμβαδού ενός κυλίνδρου. Χρειάζεται μόνο να γνωρίζετε τους τύπους και να μπορείτε να αντλήσετε από αυτούς τις απαραίτητες ποσότητες για τους υπολογισμούς.
Τύπος ακτίνας κυλίνδρου:
όπου V είναι ο όγκος του κυλίνδρου, h το ύψος
Ο κύλινδρος είναι ένα γεωμετρικό σώμα που προκύπτει περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο γύρω από την πλευρά του. Επίσης, κύλινδρος είναι ένα σώμα που οριοθετείται από μια κυλινδρική επιφάνεια και δύο παράλληλα επίπεδα που το τέμνουν. Αυτή η επιφάνεια σχηματίζεται όταν μια ευθεία κινείται παράλληλα προς τον εαυτό της. Σε αυτήν την περίπτωση, το επιλεγμένο σημείο της ευθείας γραμμής κινείται κατά μήκος μιας ορισμένης επίπεδης καμπύλης (οδηγός). Αυτή η ευθεία γραμμή ονομάζεται γεννήτρια της κυλινδρικής επιφάνειας.
Τύπος ακτίνας κυλίνδρου:
όπου Sb - πλευρική επιφάνεια, h - ύψος
Ο κύλινδρος είναι ένα γεωμετρικό σώμα που προκύπτει περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο γύρω από την πλευρά του. Επίσης, κύλινδρος είναι ένα σώμα που οριοθετείται από μια κυλινδρική επιφάνεια και δύο παράλληλα επίπεδα που το τέμνουν. Αυτή η επιφάνεια σχηματίζεται όταν μια ευθεία κινείται παράλληλα προς τον εαυτό της. Σε αυτήν την περίπτωση, το επιλεγμένο σημείο της ευθείας γραμμής κινείται κατά μήκος μιας ορισμένης επίπεδης καμπύλης (οδηγός). Αυτή η ευθεία γραμμή ονομάζεται γεννήτρια της κυλινδρικής επιφάνειας.
Τύπος ακτίνας κυλίνδρου:
όπου S είναι η συνολική επιφάνεια, h το ύψος
