Додекаэдр - это объемная геометрическая фигура, которая имеет 12 граней. Это основная его характеристика, поскольку количество вершин и число ребер могут изменяться. Рассмотрим в статье свойства этой фигуры, ее использование в настоящее время, а также некоторые интересные исторические факты, связанные с ней.
Общие понятия о фигуре
Додекаэдр - это слово взято из языка древних греков, которое буквально означает "фигура с 12-ю гранями". Его грани представляют собой многоугольники. Учитывая свойства пространства, а также определение додекаэдра, можно сказать, что его многоугольники могут иметь 11 сторон и меньше. Если грани фигуры образованы правильными пентагонами (многоугольник, имеющий 5 сторон и 5 вершин), то такой додекаэдр называется правильным, он входит в число 5-ти платоновских объектов.
Геометрические свойства правильного додекаэдра
Рассмотрев вопрос о том, что такое додекаэдр, можно перейти к характеристике основных свойств правильной объемной фигуры, то есть образованной одинаковыми пятиугольниками.
Поскольку рассматриваемая фигура является объемной, выпуклой и состоит из многоугольников (пентагонов), то для нее справедливо правило Эйлера, которое устанавливает однозначную зависимость между числом граней, ребер и вершин. Оно записывается в виде: Г + В = Р + 2, где Г - количество граней, В - вершин, Р - ребер. Зная, что правильный додекаэдр - это двенадцатигранник, число вершин которого составляет 20, то, используя правило Эйлера, получаем: Р = Г + В - 2 = 30 ребер. Углы между соседними гранями этой платоновской фигуры являются одинаковыми, они равны 116,57 o .
Математические формулы для правильного додекаэдра
Ниже приведем основные формулы додекаэдра, который состоит из правильных пятиугольников. Эти формулы позволяют вычислить площадь его поверхности, объем, а также определить радиусы сфер, которые можно вписать в фигуру или описать вокруг нее:
- Площадь поверхности додекаэдра, которая представляет собой произведение 12-ти площадей пятиугольников со стороной "a", выражается следующей формулой: S = 3*√(25 + 10*√5)*a 2 . Для приблизительных расчетов можно пользоваться выражением: S = 20,65*a 2 .
- Объем правильного додекаэдра, как и его суммарная площадь граней, однозначно определяется из знания стороны пятиугольника. Эта величина выражается следующей формулой: V = 1/4*(15 + 7*√5)*a 3 , что приблизительно равно: V = 7,66*a 3 .
- Радиус вписанной окружности, которая касается внутренней стороны граней фигуры в их центре, определяется так: R 1 = 1/4*a*√((50 + 22*√5)/5), или приблизительно R 1 = 1,11*a.
- Описанную окружность проводят через 20 вершин правильного додекаэдра. Ее радиус определяется формулой: R 2 = √6/4*a*√(3 + √5), или приблизительно R 2 = 1,40*a. Приведенные цифры говорят, что радиус внутренней сферы, вписанной в додекаэдр, составляет 79 % от такового для описанной сферы.
Симметрия правильного додекаэдра
Как видно из рисунка выше, додекаэдр - это достаточно симметричная фигура. Для описания этих свойств в кристаллографии вводят понятия об элементах симметрии, главными из которых являются поворотные оси и плоскости отражения.
Идея использования этих элементов проста: если установить ось внутри рассматриваемого кристалла, а затем повернуть его вокруг этой оси на некоторый угол, то кристалл полностью совпадет сам с собой. То же самое относится к плоскости, только операцией симметрии здесь является не поворот фигуры, а ее отражение.
Для додекаэдра характерны следующие элементы симметрии:
- 6 осей пятого порядка (то есть поворот фигуры осуществляется на угол 360/5 = 72 o), которые проходят через центры расположенных напротив друг друга пятиугольников;
- 15 осей второго порядка (симметричный угол поворота равен 360/2 = 180 o), которые соединяют середины противоположных ребер октаэдра;
- 15 плоскостей отражения, проходящих через расположенные напротив ребра фигуры;
- 10 осей третьего порядка (операция симметрии осуществляется при повороте на угол 360/3 = 120 o), которые проходят через противоположные вершины додекаэдра.
Современное использование додекаэдра
В настоящее время геометрические объекты в форме додекаэдра находят применение в некоторых сферах деятельности человека:
- Игральные кости для настольных игр. Так как додекаэдр - это платоновская фигура, обладающая высокой симметрией, то объекты этой формы можно использовать в играх, где продолжение событий имеет вероятностный характер. Игральные кости в своем большинстве изготавливают кубической формы, поскольку их сделать проще всего, однако современные игры становятся все сложнее и разнообразнее, а значит, требуют костей с большим количеством возможностей. Кости в форме додекаэдра применяются в ролевой настольной игре Dungeons and Dragons. Особенностью этих костей является то, что сумма цифр, расположенных на противоположных гранях, всегда равна 13.
- Источники звука. Современные звуковые колонки часто изготавливают в форме додекаэдра, поскольку они распространяют звук во всех направлениях и защищают его от окружающего шума.
Историческая справка
Как выше было сказано, додекаэдр - это одно из пяти платоновых тел, которые характеризуются тем, что образованы одинаковыми правильными многогранниками. Остальными четырьмя платоновыми телами являются тетраэдр, октаэдр, куб и икосаэдр.
Упоминания о додекаэдре относятся еще к вавилонской цивилизации. Однако первое подробное изучение его геометрических свойств сделали древнегреческие философы. Так, Пифагор в качестве эмблемы своей школы использовал пятиконечную звезду, построенную на вершинах пентагона (грани додекаэдра).
Платон подробно охарактеризовал правильные объемные фигуры. Философ считал, что они представляют главные стихии: тетраэдр - это огонь; куб - земля; октаэдр - воздух; икосаэдр - вода. Поскольку додекаэдру не досталась никакая стихия, то Платон предположил, что он описывает развитие всей Вселенной.
Мысли Платона многие могут посчитать примитивными и псевдонаучными, однако вот что любопытно: современные исследования наблюдаемой Вселенной показывают, что приходящее на Землю космическое излучение обладает анизотропией (зависимостью от направления), и симметрия этой анизотропии хорошо согласуется с геометрическими свойствами додекаэдра.
Додекаэдр и сакральная геометрия
Священная геометрия представляет собой совокупность псевдонаучных (религиозных) знаний, которые приписывают различным геометрическим фигурам и символам определенное сакральное значение.
Значение многогранника додекаэдра в сакральной геометрии заключается в совершенности его формы, которую наделяют способностью приводить окружающие тела в гармонию и равномерно распределять энергию между ними. Додекаэдр считается идеальной фигурой для практики медитации, поскольку он играет роль проводника сознания в иную реальность. Ему приписывают способность снимать стресс у человека, восстанавливать память, улучшать внимание и концентрационные способности.
Римский додекаэдр
В середине XVIII века в результате некоторых археологических раскопок на территории Европы был найден странный предмет: он имел форму додекаэдра, сделанного из бронзы, его размеры составляли несколько сантиметров, и он был пустым внутри. Однако любопытно следующее: в каждой его грани было сделано отверстие, причем диаметр всех отверстий был различным. В настоящее время найдено более 100 таких объектов в результате раскопок во Франции, Италии, Германии и других стран Европы. Все эти предметы датируются II-III веком нашей эры и относятся к эпохе господства Римской Империи.
Как римляне использовали эти предметы - не известно, поскольку не найдено ни одного письменного источника, который бы содержал точное объяснение их назначения. Лишь в некоторых трудах Плутарха можно встретить упоминание, что эти объекты служили для понимания характеристик 12-ти знаков Зодиака. Современное объяснение тайны римских додекаэдров имеет несколько версий:
- предметы использовались в качестве подсвечников (внутри них найдены остатки воска);
- они применялись как игральные кости;
- додекаэдры могли служить календарем, который указывал на время посадки сельскохозяйственных культур;
- могли они применяться в качестве основы для крепления римского военного штандарта.
Существуют и другие версии использования римских додекаэдров, тем не менее ни одна из них не имеет точных доказательств. Известно лишь одно: древние римляне высоко ценили эти предметы, поскольку в раскопках они часто обнаруживаются в тайниках вместе с золотом и драгоценностями.
Суточное и годовое вращение Земли формируется движением планеты по траектории, лежащей на сферических поверхностях. Опорными точками траектории являются вершины додекаэдра вписанного в сферу.
Рис. 12.Схема куба вписанного в додекаэдр.
Для расчета параметров додекаэдра впишем в додекаэдр куб (рис. 12). Поскольку диагональ пентакля (грани) додекаэдра является стороной вписанного куба, то отыщем величины стороны куба, приняв диаметр сферы додекаэдра (Д сферы) равным 1 (на рис. 13 ЕС=1).
Расчет нужных параметров додекаэдра приведен ниже:
Обозначим длину стороны куба е .
(АС) 2 = 2е 2 - из треугольника ABC;
е 2 + (АС) 2 = 1 2 - из треугольника EAC;
Тогда: 3е 2 = 1;
е = корень из числа 0,3333 ×Д сферы = 0,5773503 Д сферы - длина стороны куба и диагональ пятиугольника (пентакля) - грань додекаэдра.
а = 0,5773503 × 0,61803 = 0,356821 Д сферы = 0,714 R сферы (таблица 1)- длина ребра додекаэдра.
а 1 = 41,810058° × 3,14159 Д сферы / 360° = 0,364861 Д сферы - длина дуги ребра по описанной сфере додекаэдра.
Рис. 13.Схема к расчету параметров додекаэдра
Рис. 14.Поясняющий чертеж к расчету углов додекаэдра.
О - центр додекаэдра.
О I - центр грани додекаэдра
ОС = 0,5 Д сферы.
О I C - радиус описанной окружности пентакля грани додекаэдра r оп = 0,30353 Д сферы.
ЕА - длина дуги описанной окружности пентакля а 2 = 2×3,14159 r оп / 5 = 0,381426725 Д сферы;
Радиус вписанной в пентакль окружности r вп = МО I = 0,245561736 Д сферы.
ОО I = Корень квадратный из выражения (0,5 Д сферы) 2 - (r оп) 2 = 0,397327235 Д сферы.
Угол О I ОС = arc sin (0,30353/0,5) = 37,377224°.
Угол О I ОМ = arc tg (0,24556064/0,397327999) = 31,717676°.
Угол МОА = arc sin (0,356821: 2/ 0,5) = 20,9051° .
МB =0,44552885 Д сферы.
Рис. 15.Поясняющий чертеж необходимых в расчетах внутренних углов додекаэдра.
Раздел 1.5. Геометрия годичной низкочастотной сферы (ГНС) движения - вторая магнитная составляющая (МСТ) основы траектории годового движения тел КОСМОСа.
Движение тел Солнца и Земли по оси спирали ДНК включает в себя движение по годичной низкочастотной сфере (ГНС - МСТ).
Пространственную решетку точек (математическая основа пространства-времени), по которой движутся тела, обуславливает додекаэдр - правильный пространственный многоугольник.
Осью траектории движения тела (например, Земли) является ось спирали ДНК (рис. 4), а траекторией движения является движение тела по точкам вписанных окружностей в грани додекаэдра.
В дезоксирибонуклеиновой кислоте клетки человека в вершинах додекаэдра располагаются молекулы, образуя при этом грани додекаэдра - пентаграммы и гексаграммы.
Сечение додекаэдра образует шестиугольник. Этот факт и объясняет правильные шестиугольники в связях молекул нуклеотидных стопок ДНК.
Рис. 15.Вид додекаэдра сбоку. Траектория движения тел Солнца и Земли.
Сначала рассмотрим кривую линию, вписанную в додекаэдр (рис.15). Затем эта кривая впишется в спираль ДНК по ее оси.
В грани додекаэдра (пентаграммы) впишем последовательно окружности по следующему алгоритму, то есть тело будет двигаться по следующей траектории:
Обозначим точки касания линии движения тела (окружности) с ребрами додекаэдра арабскими цифрами.
Движение тела начинается из точки 1 (рис 15 и 16) в точку 2.
Точка 1 выбрана произвольно на середине любого ребра додекаэдра и принадлежит вписанной окружности грани I додекаэдра.
Рис. 16.Вид додекаэдра сверху. Движение тела по ГНС - проекция додекаэдра со стороны северного полюса вращения тела - Цветок Жизни.
Из точки 5 тело переходит на вписанную окружность грани II и продолжает двигаться по точкам 6 , 7 , 8 , 9 (движение обозначено пунктирной линией на задней от нас стороне додекаэдра - рис. 16).
Затем из точки 9 тело движется по плоскости грани III через точки 4, 10, 11, 12.
Следующие плоскости движения:
Грань IV 12; 8; 13; 14; 15.
Грань V 15; 11; 16; 17; 18.
Грань VI 18; 14; 19; 20; 21.
Грань VII 21; 17; 22; 23; 24.
Грань VIII 24; 20; 25; 26; 27.
Грань IX 27; 23; 28; 2; 29.
Грань X 29; 26; 30; 6; 1.
Развернем искусственно додекаэдр в плоскую развертку для лучшего понимания и наглядности движения тела по ГНС.
Рис. 17.Графическая линейная интерпретация движения тела по ГНС по точкам додекаэдра.
Кривая движения (рис. 17) развернута в плоскостное изображение и, например, точка 4 (середина ребра додекаэдра) принадлежащая грани III есть та же самая точка 4, принадлежащая и плоскости грани II.
Движение тела идет по циклам «восьмерок». Всего «восьмерок» 5 шт. или 10 полувосьмерок движения тела от точки 1 до точки 30.
Рассмотрим траектории движения тел Солнца и Земли по спиралям ДНК с учетом их движения по сфере ГНС.
Сфера ГНС формирует точки траектории движения рассматриваемых тел своей проекцией правостороннего поворота по спирали ДНК.
«Колесо» ГНС движется по «дороге» - оси спирали ДНК.
Образно сфера ГНС, с вписанным додекаэдром «отпечатывается» на траектории спирали ДНК, как след протектора автомобильной шины на пыльной дороге (рис. 4).
Спираль ДНК за один год движения тела содержит проекции двух сфер ГНС, то есть траектория движения тел содержит 20 полувосьмерок (петель) или 10 восьмерок ГНС. Повторяем, что осью траектории ГНС является спираль ДНК.
1.5.1. Соотношение траекторий Земли и Солнца.
Траектории Солнца и Земли коллинеарны с разворотом по пространству на 180° по оси симметрии - оси навивки кора.
Поскольку и Солнце и Земля движутся по ГНС, то среднее расстояние между ними практически остается постоянным (рис. 15).
Для доказательства данного утверждения рассмотрим сферу ГНС, на которой в точке 1 расположим Землю, а на противоположной стороне в т. 18 Солнце.
Рассмотрим проекцию додекаэдра ГНС без искусственного искажения (рис. 15), и определимся с движением тел Солнце и Земля.
И конкретно, рассмотрим несколько позиций данных тел:
Позиция № 1 : Земля находится в точке 1 , тогда Солнце – в точке 18 .
Позиция № 2 : Земля движется через точку 2 в точку 3 14 в точку 19 .
Позиция № 3 : Земля движется через точку 4 в точку 5 , а Солнце – синхронно через точку 20 в точку 21 .
Позиция № 4 : Земля движется через точку 6 в точку 7 , а Солнце – синхронно через точку 17 в точку 22 .
………………………………………
Позиция № 19 : Земля движется через точку 26 в точку 30 , а Солнце – синхронно через точку 11 в точку 16 .
Позиция № 20 : Земля движется через точку 6 в точку 1 , а Солнце – синхронно через точку 17 в точку 18 .
Цикл движения рассматриваемой системы тел «Солнце – Земля» завершен. Как видно из позиций №№ 1 – 20, при таком движении среднее расстояние между данными телами является постоянной величиной.
Звезда Солнце и планета Земля образуют между собой, дуальность и бинарность синхронного движения по низкочастотной сфере (ГНС).
Хотя спираль ДНК Земли отстает на величину радиуса ГНС от спирали Солнца, симметрия движения тел также позволяет говорить, что среднее расстояние между телами Солнца и Земли будет величиной постоянной.
Ось сферы ГНС перпендикулярна оси орбиты движения тел.
Диаметр сферы ГНС Земли и Солнца (Д ГНС) вычислим следующим образом:
L год = 457,141389×10 6 км (см. предыдущий раздел 1.4.).
Длина окружности сферы ГНС: L ГНС = 0,5 L год = 228,570694×10 6 км - согласно конструкции ДНК . То есть годовую траекторию движения Земли (Солнца) формируют две сферы ГНС.
Тогда, радиус ГНС: r ГНС = 0,5 L год: 2π = 228,570694×10 6: 2π = 36,378156×10 6 км.
И диаметр ГНС: Д ГНС = 72,756312×10 6 км.
Движение тел Солнца и Земли образуют между собой, так называемый, Рыбий пузырь (vesiса piscis) или мандорлу («мистический миндаль»).
Рис. 18.Схема соотношения положений Земли и Солнца по ГНС.
1.5.2. Расчет скоростей движения Земли и Солнца.
Длина траектории движения тела по ГНС (L ГНС) в течение одного года составляет:
L ГНС = 2 × 10 × 2π × r вп × 4/5 = 160 π × 0,24556064 Д ГНС: 5 = 1796,094913×10 6 км.,
10 - число полувосьмерок ГНС;
2 - число циклов ГНС по спирали ДНК за один тропический год;
r вп - вписанный радиус окружности в грань додекаэдра 17.866086×10 6 км = 0,24556064 Д ГНС (ч. 1 гл. 1 раздел 1,4.);
4/5 - длина траектории вписанной окружности в пентаграмму от длины вписанной окружности (согласно конструктивного строения траектории).
Тогда, скорость Земли и Солнца по траекториям своего движения ГНС составляет: 1796,094913×10 6 км: 31556926,34 S = 56,92 км/сек.
Полученная скорость движения в 2 раза больше, чем дает официальная наука данные по скорости движения Земли вокруг Солнца (29 км/сек).
Раздел 1.6. Суточное вращение тел Солнца и Земли. Алгоритм строения ВЧС - высокочастотной сферы движения тел – электрическая составляющая траектории движения (ЭСТ).
Возникает вопрос, если тела движутся не по круговой орбите, а по спиралям, причем спирали сильно вытянуты в разновидность геликоиды, то какая сила и откуда раскручивает тела в суточном вращении.
Наука астрономия не объясняет вращения тел вокруг оси, не дает никакого объяснения, почему вращение у Земли одни сутки, у Солнца и Луны 27 суток, у Меркурия 58 суток, у Венеры оборот вокруг своей оси происходит почти за год земного времени и, вообще, у Венеры и Урана оно ретроградное и т.д., что вступает в противоречие с основной моделью происхождения Солнечной системы, принятой в науке.
Якобы тела Солнечной системы сформировались из некого протооблака материи. Тогда почему скорости вращения у всех тел разные и углы наклона осей вращения тел также разные? И вместе с тем все тела солнечной системы странным образом связаны в движениях друг с другом. Например, синодический период обращения Луны (по отношению к Солнцу) составляет 29,5 дней, а период вращения у Меркурия составляет два периода Луны, то есть 58,65 дней, а также период обращения Меркурия вокруг Солнца 87,97 дней составляет три синодических периода Луны.
Суточный вид движения тел также сформирован не вращением тел вокруг своей оси, а обращением тел по дополнительной сфере и траектория тела по ГНС является осью этого высокочастотного суточного обращения (вращения). Спираль суточного обращения (вращения в науке) как бы надета на другую ось движения - на траекторию тела по ГНС (рис. 5).
Земля движется по точкам поверхности высокочастотной сферы (ВЧС), образующих навивку суточной спирали по оси волны, идущей по точкам годичной низкочастотной сферы (ГНС).
1.6.1. Алгоритм строения ВЧС – высокочастотной сферы движения тела.
В основе высокочастотной сферы суточного обращения (вращения) тел заложена математическая основа пространственной решетки нелинейного пространства-времени - додекаэдр.
Рис. 19.Додекаэдр. Начало отсчета движения тела.
Произвольно выбираем любую вершину додекаэдра и называем точкой А (см. рис. 19). По ходу движения обозначаем каждую из вершин, по которым происходит движение тела, заглавными буквами русского алфавита – А, Б, В и так далее.
По первому ребру (любому – они равны в приоритете выбора) движемся в точку Б . Далее (см. рис. 20) продолжим движение левосторонним обходом по направляющему следующему ребру в точку В и затем в точку Г .
Рис. 20.Додекаэдр. Движение тела по кривой через точки А, Б, В, Г описанной сферы.
Левосторонний обход выбран только потому, что авторы настоящей работы проживают в северном полушарии. При рассмотрении Солнечной системы со стороны северного полюса ее космические тела совершают движение влево относительно созвездий Зодиака небесной сферы. Данное движение является правосторонним, если его оценивать с южного полюса Земли или Солнечной системы. Этот эффект общеизвестен.
Последовательно обойдем вершины додекаэдра, руководствуясь правилом движения левостороннего обхода. Волна, образующаяся в результате движения, имеет вид, приведенный на рисунке 21.
Рис. 21. Додекаэдр. Движение тела по кривой через точки А, Б, В, Г, Е, Ж, И, К*, М, О, П, С, Т, У, Ф описанной сферы.
Убираем для наглядности изображение додекаэдра (см. рис. 21) и получаем волну - спираль движения тела.
Данному движению тела соответствует двое с половиной оборота его вращения.
Первый оборот - от точки А ЖИ .
Второй оборот - от середины кривой ЖИ до середины кривой, ограниченной точками СТ , и далее еще половина оборота от середины кривой СТ до точки Ф .
Перечислим точки волны: А- Б-В-Г-Е-Ж-И-К* -М-О-П-С-Т-У-Ф .
Рассмотрим этот же вид волны-спирали, но из другой точки Ф
- противоположной исходной точке А
.
Второй вид волны формируется также в левостороннем обходе, по поверхности сферы из точки Ф к точке А . Проследим это движение (см. рис. 23):
Ф -Р-С-Т-Л-М-О-П* -Ж-И-К-В-Г-Д-А .
Рис. 22.Вид кривой через точки А, Б, В, Г, Е, Ж, И, К*, М, О, П, С, Т, У, Ф описанной сферы без додекаэдра.
Эти две волны тождественны, но имеют разворот симметрии на 180° по вертикальной оси додекаэдра.
Рис. 23.Движение тела из вершины Ф, Р, С, Т, Л, М, О, П*, Ж, И, К, В, Г, Д, А описанной сферы додекаэдра.
Мы обошли полностью сферу. Появился цикл ритма волны движения телом по точкам некой информационной среды. Данная среда ранее получила наименование Матрица мироздания.
Настоящее движение мы назовем высокочастотной сферой движения (ВЧС) – цикл ритма фаз движения тела по ВЧС.
Волна Высокочастотной Сферы движения состоит из 2-х фаз:
Первой: из точки А до точки К* ;
Второй: от К * до Ф ;
Вторая рассмотренная волна - спираль тождественна первой и также имеет две фазы:
Первой: от Ф до П* ;
Второй: от П* до А .
Каждая фаза волны движения тела состоит из семи отрезков (длин) движения.
Известно, что ребро додекаэдра и диагональ пентаграммы находятся между собой в золотосеченном отношении 0,61803 как а / е , где а – ребро додекаэдра, а е – диагональ пентаграммы (грань додекаэдра).
Дуги обхода на сферической поверхности по вершинам додекаэдра также находятся в золотосеченном отношении. Это утверждение не трудно проверить, взяв нужные величины додекаэдра из таблицы параметров многогранников (см. справочный материал в конце раздела и ч.1 гл.1 раздел 1.4).
Исходя из того, что диаметр сферы движения тела равен единице, то длина дуги между вершинами по ребру будет равна 0,364861 Д сферы , а по хорде луча звезды - пентакля (диагональ пентаграммы) длина дуги будет равна 0,590356 Д сферы .
И тогда: 0,590356: 0,364861 = 1,61803 , и 0,364861: 0,590356 = 0,61803 .
Будем считать, что планета Земля движется по точкам додекаэдра (для краткости будем упускать, что движение идет по сферической поверхности) из точки А в точку Ф . При полном обходе точек додекаэдра, по кривой описанной ранее, Земля обойдет его за двое с половиной суток.
Вернувшись в точку А 1 , она перейдет в точку Б . Запишем точку Б с индексом Б 1 , поскольку тело, продолжая движение по алгоритму додекаэдра, еще много раз будет возвращаться в данную точку.
Из точки Б , полностью повторяя весь цикл предыдущего движения по точкам додекаэдра из точки А , вновь проведем кривую движения следующим образом:
Б 1 -В-Г-Д-З-И-Л-М*-О-С-Ж-Т-У-Ф-Р-С-Т-У-Н-О-Е-Ж*-И-Л-М-Г-Д-А-Б 1
Затем Земля пройдет спираль движения В 1 ......В 1 по этому же алгоритму; Г 1 …..Г 1 ; Е 1 …..Е 1 ; Ж 1 …..Ж 1 ; и так далее, завершая цикл движения из Д 1 вновь в Д 1 .
Из точки Д 1 тело Земли, завершая полный обход по 28 точкам додекаэдра, вновь переходит в точку А . Назовем всю эту длинную цикличную спираль движения гуна I .
Выписываем все точки обхода:
А 2 -З-И-К-В-Г-Е-Ж*-Т-Л-М-О-П-Р-Ф-Н-О-П-С-Т-Л-М*-Г-Е-Ж-И-К-Б-А 2
Мы поставили индекс на букве А 2 , поскольку данный обход на точке А – второй.
Обойдя все точки додекаэдра, мы вновь возвращаемся в точку А 2 .
Аналогично движению по гуне I следующие циклы движения: З 2 ....З 2 ; И 2 ….И 2 ; … В 2 ….В 2 ; Б 2 ….Б 2 .
Тело вновь возвращается в точку А .
Данную траекторию движения назовем гуна II .
И опять вновь, начинаем обход по третьему ребру. Запишем и это спиральное движение: А 3 -Д-Е-Ж-И-К-В-Г*-П-С-Т-Л-М-Н-Ф-У-Л-М-О-П-С-Т*-К-В-Г-Е-Ж-З-А 3 .
Затем тело движется, на каждой указанной в данном ряду вершине, по базовому алгоритму ВЧС.
Итого, тело пройдет в прямом направлении обходы всех точек от А
до Ф
и, точно также, в обратном направлении, т.е. в обратном ходе, обойдет все точки додекаэдра и вновь вернется в точку А
. Настоящую траекторию движения назовем гуна III
.
Рис. 24.Вид кривой через точки Ф, Р, С, Т, Л, М, О, П*, Ж, И, К, В, Г, Д, А описанной сферы без додекаэдра.
Точки, соответствующие вершинам додекаэдра, кодируют пространство-время окружающего мира, или по-другому сказать, что все мироздание имеет строение пространства-времени, именно, по кодам, которые записываются в точках, разворачиваемых по алгоритму движения по вершинам додекаэдра (точнее: додекаэдрической сингонии симметрии движения) .
Геометрия нелинейного пространства-времени настоятельно требует внести другое понятие длины волны, чем существующее в официальной физике. Данный шаг связан с тем, что объемная кривая волны совсем не похожа на ту плоскостную модель, где длина волны принята как расстояние между двумя одинаковыми фазовыми точками плоской четырехтактной волны.
Примем за длину волны линейный размер пройденного телом пути, лежащего между двумя точками на сферической поверхности .
А также примем диаметр сферы суточного вращения Земли равный математической единице. В данный момент движение Земли рассматривается в относительных линейных величинах без привязки к абсолютным размерам тел и физической размерности их движения.
Некоторые параметры движения (см. ч.1 гл.1 раздел 1.4):
Длина ребра додекаэдра а I = 0,356821 Д сферы ;
Длина диагонали пентаграммы (грани) l I = 0,5773503 Д сферы ;
Длина волны между вершинами:
а 1 = 0,364861 Д сферы ;
а 2 = 0,381426725 Д сферы ;
Длина волны по диагонали пентаграммы l = 0,364861 Х 1,61803 = 0,590356 Д сферы .
Распишем ритм волны, создаваемой Землей (и Солнцем), в виде длин кривых при своем суточном движении нарастающим итогом (рис. 21):
1-я фаза волны:
2-я фаза волны:
Геометрически цикл ритма двух фаз суточного (кругового) движения в двое с половиной оборота закончен.
Движение тела исходит из точки А . Пройдя большой цикл движения, который состоит из движения его через точки, являющимися 29-ю вершинами додекаэдра ВЧС и, вернувшись снова в точку А , тело переходит в точку Б . Из точки Б оно начинает следующий цикл движения, аналогичный предыдущему.
Фактические сутки движения Земли отличаются от средних суток, поскольку данная спираль не будет правильной.
Например, геометрия первой фазы движения дает нам окончание расчетных суток (по неподвижной конструкции высокочастотного обращения тела без учета движения Солнца и Земли вокруг друг друга) при длине волны 2,394675 = 2,099497 + (2,689853 - 2,099497):2; где: 2,689853 – отсчет длины волны в точке И ; 2,099497 - отсчет длины волны в точке Ж . В колебание дления фактических суток вносятся, кроме движения Солнца и Земли вокруг друг друга по оси ДНК в течение тропического года, другие факторы, изменяющие дление суточного движения тела: движение Земли и Луны вокруг друг друга, суточное обращение тел солнечной системы, в том числе Солнца и Земли и т.д. Данные виды движения тела будут разбираться в работе дальше.
1.6.2. Суточное вращение тел Солнца и Земли.
Рассмотрим суточный вид движения тел (ВЧС) по отдельной петле ГНС (рис. 25).
На каждой петле ГНС расположено 8 сфер ВЧС. Рассчитаем параметры одной сферы ВЧС:
r вп - вписанный радиус окружности в грань додекаэдра равен 0,24556064 Д ГНС = 17.866086×10 6 км. (раздел 1.5.)
L ВП ГНС = 2π × r вп × 4/5 = 89,804743×10 6 км – длина вписанной в грань додекаэдра петли ГНС.
Д ВЧС = L ВП ГНС: 8 = 11,225593×10 6 км - диаметр высокочастотной сферы суточного движения тел.
Рис. 25.Фрагмент суточного движения тела по одной петле ГНС.
Произведем расчет суточного времени обхода одной сферы ВЧС.
Длительность тропического года разделим на 20 петель ГНС = 365,2421988: 20 = 18,26211 суток в одной петле.
Тело проходит ВЧС за 18,26211: 8 = 2,28276375 суток, при этом совершается 20 полных оборотов вокруг додекаэдра.
Земля и Солнце, а также Луна производят относительно синхронное суточное обращение вокруг оси (траектории ГНС) по спирали ВЧС.
Наличие перигелия и афелия в расстоянии между Землей и Солнцем объясняется движением тел по спиралям ВЧС, ГНС и годовому движению по звездному нуклеосомному кору (см. раздел 1.5).
Уравнение времени (рис. 26), показывающее на сколько истинные солнечные сутки отличаются от средних солнечных суток, также формируется фактором движения тел Земли и Солнца по спиралям суточного обращения тел, а также спецификой движения тел по кривой, сформированной сферой ГНС.
Рис. 26.Баланс времени.
Движение тел по кривой ДНК имеет возвратно-поступательное движение именно за счет движения по кривой ГНС. Кроме того, на формирование уравнения суточного времени главное влияние по году оказывает сама кривая ДНК. Половина геликоиды на торе траектории Земли формируется меньшим диаметром звездного кора, а ее вторая половина – большим (внешний и внутренний диаметры кора), то есть с разницей диаметра двойной спирали ДНК. При постоянной скорости движения, но разном пути движения тела в течение суток сами сутки (движения тела) будут различны по своему длению.
1.6.3. Ориентировка тел по сферам движения.
Ориентировка тел по звездному кору.
Обозначим линию, параллельную центральной оси сектора годового движения тела и лежащую в плоскости экватора тела, осью экватора тела. Тогда, ось мира всегда перпендикулярна оси экватора Земли (с другой стороны, ось мира всегда перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости экватора Земли).
Ось экватора Земли всегда параллельна центральной оси текущего годового сегмента Земли звездного нуклеосомного кора (рис.27).
Следовательно, в цикле движения тел по нуклеосомному кору ось экватора Земли изменит свое направление регулярно через 46°52 I 30 II центрального угла сегмента по кору относительно некой математической оси.
Рис. 27.Схема ориентировки сфер ВЧС.
Все окружающие звезды и планеты также регулярно и синхронно совершают свои движения по ДНК с той же самой периодичностью, что и Земля с Солнцем.
Субъективно для наблюдателя с Земли ось мира всегда направлена на Полярную Звезду, поскольку предполагается, что Полярная Звезда движется по такому же нуклеосомному кору по спирали ДНК.
Ориентировка магнитосферы Земли.
На рис. 21 плоскость ЖЕП*ОМК*И наклонена к оси О 1 ОО 2 под углом 11°.
Известно, что магнитная ось Земли составляет с осью мира также 11°05 I .
Предполагается что, высокочастотная сфера (ВЧС) суточного обращения тел формирует лектрическое поле тела, а кривые движения тела по траектории ГНС являются магнитными силовыми линиями магнитосферы Земли и других тел.
Магнитное поле Земли имеет вид полосатого арбуза за счет петель ГНС - траектории движения тела по низкочастотной сфере.
Поскольку окружающий человека мир является голографическим объектом, то магнитные силовые линии есть целостный организм, информация точек которого взаимно обуславливает связи точек линий текстуры ткани пространства-времени по параметрам информации между собой .
1.6.4. Расчет абсолютной скорости движения Земли и Солнца.
Длина пути тел по ВЧС равна: 6,49394935 × Д ВЧС × 160 = 11663,74908×10 6 км,
где: 6,49394935 - длина волны-спирали по ВЧС (см. выше);
160 = 20 × 8 - количество ВЧС в годовом движении тел;
Д ВЧС = 11,225593×10 6 км - диаметр высокочастотной сферы суточного движения тел.
Тогда абсолютная скорость движения Земли и Солнца составляет:
11666,35499×10 6 км: 31556926,34 S = 369,61 км/сек или 22176,59 км/мин или 1330595,26 км/час = 1,33×10 6 км/час.
Справочный материал к разделу.
Из элементарной физики известно, что всякая система самопроизвольно переходит в состояние, при котором ее потенциальная энергия минимальна. Например, жидкость самопроизвольно переходит в такое состояние, при котором площадь ее свободной поверхности имеет минимальную величину.
Поскольку при постоянном объеме наименьшая площадь поверхности имеется у шара, жидкость в состоянии невесомости принимает форму шара, а капли жидкости имеют шаровую форму. Шар - идеальная система симметрии с бесконечным числом осей симметрии.
Шаровая поверхность (сфера) является совокупностью точек, равноудаленных от одной точки - центра шара. Из молекулярной физики, биологии, химии и других наук известно, что связи между ядрами (атомами, молекулами, клетками, планетами и т.п.) осуществляются по кратчайшим путям. Кратчайшие пути между точками на сфере создают геометрические фигуры.
Если все точки равноудалены от соседних точек, то есть эти кратчайшие пути равны между собой, то пространственная геометрическая фигура становится правильным многогранником.
Геометры установили, что существует только пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр, обладающих свойствами равно удаленности точек их вершин не только от центра шара, в который они вписаны, но и от соседних точек. Эти многогранники иногда называют «платоновыми телами». Других правильных многогранников в природе нет, это доказал еще Платон.
 |
Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр
Рис. 28. Платоновые тела.
Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная XIII Книга знаменитых «Начал» Евклида. Эти многогранники часто называют также платоновыми телами - в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр - огонь, куб - землю, икосаэдр - воду и октаэдр - воздух; пятый же многогранник, додекаэдр символизировал все мироздание - его по латыни стали называть quinta essentia («пятая сущность»).
Тетраэдр определяется четырьмя точками (см. рис. 28), октаэдр - шестью, куб - восемью, додекаэдр - двадцатью и икосаэдр - двенадцатью.
Каждое из этих тел имеет свою систему пропорций (фракталы) и свою систему симметрий (сингонию), определяющих качество этих тел.
Примем диаметр сферы, описывающей платоновые тела, за единицу. Вычислим параметры платоновых тел и сведем все в таблицу (см. таблица 1).
Таблица 1.
| Правильный многогранник, количество и тип граней | Кол-во вер-шин | Кол-во ребер | Размер ребра, выраженный через радиус описанной сферы | Двугранный угол между гранями (a), плоский угол между ребрами (b) | Площадь поверхности многогранника | Объем многогранника |
| Тетраэдр (пирамида) 4 равносторонних треугольника | a 4 = = = 1,633 R | a 4 = 70°32ў b 4 = 60° | V 12. =  = 2,785 R 3
|
|||
| Икосаэдр (20-гранник) 20 равносторонних треугольников | a 20 = = = 1,051 R | a 20 = 138°11¢ b 20 = 60° | S = = = 9,575 R 2 | V 20 = = = 2,536 R 3 |
Самым большим объемом из платоновых тел обладает додекаэдр. Его объем составляет 66,6% от объема описанного шара.
Кривая зависимости объема тела от его числа граней приведена ниже на графике (рис. 29).
Рис. 29. Кривая зависимости объема тела от его числа граней.
За все время археологи выдвинули примерно 27 гипотез назначения этих странных предметов, но доказать ни одну из них не удалось.
Римский додекаэдр - это небольшой объект из бронзы или камня с 12 плоскими пятиугольными гранями. Его происхождение датируется II-II веком н. э. Размеры додекаэдров варьируются от 4 до 11 см, а узор и наружная отделка совершенно разные. Двенадцатигранники полые внутри и имеют в каждой грани круглое отверстие. Между ними по углам располагаются 20 маленьких небольших шариков. Благодаря таким шарикам, додекаэдры устойчиво стоят на плоскости в любом положении. В свое время эти предметы были очень распространены. Владельцы высоко ценили Римские додекаэдры. Об этом свидетельствует многочисленные находки этих артефактов среди кладов, монет и других ценных предметов.
После находки первого додекаэдра прошло более двухсот лет, а ученые ни на шаг не приблизились к разгадке тайны их происхождения и функций. За все время археологи выдвинули примерно 27 гипотез назначения этих странных предметов, но доказать ни одну из них не удалось. Около сотни Римских додекаэдров было найдено в Англии, Италии, Германии и Франции. Об этих предметах не упоминается в исторических текстах или изображениях того времени. Самыми распространенными версиями их использования являются следующие:
- подсвечники;
- игральные кости;
- инструменты для калибровки водяных труб;
- элементы армейского штандарта;
- дальномеры;
- болванки для вязки перчаток под разные размеры пальцев;
- религиозные символы или инструменты для гадания.
Римский додекаэдр мог использоваться в качестве дальномера на поле боя. С его помощью могли рассчитывать траекторию метательных снарядов. Для этого могли предназначаться загадочные отверстия разного диаметра на пятиугольных гранях. Могли Римские додекаэдры и служить в качестве астрономических измерительных приборов, с помощью которых определяли сроки посева зерновых культур. Однако, некоторые исследователи считают, что вряд ли такие предметы были измерительными приборами из-за отсутствия у них стандартизации, имея при этом разные размеры и конструкции.
Существуют и более правдоподобные теории предназначения Римских додекаэдров. Они могли быть частью культурного наследия местных племен и народов, издревле населявших территории Северной Европы и Британии. Возможно, додекаэдры римского периода и связаны с более древними каменными шарами с вырезанными на их поверхности многогранниками, которые относятся к периоду между 2500 и 1500 годами до н. э. и находятся в Шотландии, Ирландии и Северной Англии. Так же маленькие додекаэдры могли иметь отношение к знаменитому комплексу Стоунхенджу. Никто не знает, каково было предназначение этого сооружения. Возможно, шары-многогранники играли для древних народов Британии туже роль, что и загадочный Стоунхендж, олицетворяя духовные идеи и тайны мироустройства.
Додекаэдр некогда считался школой пифагорейцев в Древней Греции священной фигурой. Он олицетворял эфир — пятый элемент мироздания, помимо огня, воздуха, воды и земли. Возможно, найденные Римские додекаэдры принадлежали последователям учений пифагорейцев. Это тайное общество тщательно скрывало свое существование. Они могли специально убирать из исторических записей все тексты, касательно додекаэдров, считая их священными фигурами, объясняющими существующий порядок вещей.
РАЗВЕРТКА ДОДЕКАЭДРА
ДОДЕКАЭДР — один из пяти правильных многогранников, так называемое Платоновское тело.
НАЗВАНИЕ. В переводе «додекаэдр» значит — «12 граней
В ЧИСЛОВОМ ВЫРАЖЕНИИ. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин, 30 ребер.
РАЗВЕРТКА ДОДЕКАЭДРА. Развертка состоит из двенадцати правильных пяти-угольников, кроме того, развертка включает в себя еще и клапаны.
КАК СДЕЛАТЬ ДОДЕКАЭДР ПО РАЗВЕРТКЕ. Согнуть развертку по всем необходимым линиям «горой». Если развертка выполнена на плотной бумаге, то по всем линиям сгиба провести по изнанке острым краем ножниц.
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ. В каждой вершине додекаэдра сходится три пяти-угольника
СТИХИИ. По мнению некоторых средневековых ученых, додекаэдру соответствует Эфир (то есть пустота)
Пожалуй, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии, около Падуи, в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости.
Додекаэдр рассматривали в своих сочинениях древнегреческие учёные. Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии. О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»
В 2003 году, при анализе данных космического аппарата WMAP, была выдвинута гипотеза, что Вселенная представляет собой додекаэдрическое пространство Пуанкаре
На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами, относящихся ко II-III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.
Древние мудрецы говорили: «Чтобы познать невидимое, смотри внимательно на видимое». В плане сакральных сил додекаэдр самый мощный многогранник. Не зря Сальвадор Дали для своей «Тайной вечере» выбрал эту фигуру. В ней от двенадацати пятиугольников — тоже сильной фигуре, силы концентрируются в одной точке — на Иисусе Христе.
А теперь взгляните да додекаэдр и осознайте, что число 5 формирует КРИСТАЛЛ СИЛЫ.
Фигура относится к одному из пяти Платоновых тел (наряду с тетраэдром, октаэдром, гексаэдром (кубом) и икосаэдром). Интересно, что согласно многочисленным историческим документам, все они активно использовались жителями Древней Греции в виде настольных игральных костей и изготавливались из самого различного материала.
ДОДЕКАЭДР В ПРИРОДЕ. Кристалл пирита — сернистого колчедана — FeS2 — очень красив, и, по легенде, именно он подсказал грекам идею «правильного» додекаэдра.
Если длину ребра додекаэдра принять за , то площадь всей поверхности додекаэдра равна
Пра-виль-ные мно-го-гран-ни-ки ин-те-ре-со-ва-ли мно-гих ве-ли-ких учё-ных. И этот ин-те-рес вы-хо-дил да-ле-ко за пре-де-лы ма-те-ма-ти-ки. Пла-тон (427 до н.э. - 347 до н.э.) рас-смат-ри-вал их как ос-но-ву стро-е-ния Все-лен-ной, Кеплер (1571-1630) пы-тал-ся свя-зать пра-виль-ные мно-го-гран-ни-ки с дви-же-ни-ем планет Сол-неч-ной си-сте-мы (ко-то-рых в его вре-мя бы-ло из-вест-но пять). Воз-мож-но, имен-но кра-со-та и гар-мо-ния пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков за-став-ля-ла ве-ли-ких учё-ных про-шло-го пред-по-ла-гать ка-кое-то бо-лее глу-бо-кое их на-зна-че-ние, чем про-сто гео-мет-ри-че-ских объ-ек-тов.
Пра-виль-ным мно-го-гран-ни-ком на-зы-ва-ет-ся мно-го-гран-ник, все гра-ни ко-то-ро-го суть пра-виль-ные мно-го-уголь-ни-ки, все плос-кие уг-лы ко-то-ро-го рав-ны меж-ду со-бой и дву-гран-ные уг-лы ко-то-ро-го рав-ны меж-ду со-бой. (Плос-ки-ми уг-ла-ми мно-го-гран-ни-ка на-зы-ва-ют-ся уг-лы мно-го-уголь-ни-ков-гра-ней, дву-гран-ны-ми уг-ла-ми мно-го-гран-ни-ка на-зы-ва-ют-ся уг-лы меж-ду гра-ня-ми, име-ю-щи-ми об-щее реб-ро.)
За-ме-тим, что из это-го опре-де-ле-ния ав-то-ма-ти-че-ски сле-ду-ет вы-пук-лость пра-виль-но-го мно-го-гран-ни-ка, ко-то-рая в неко-то-рых кни-гах вклю-ча-ет-ся в опре-де-ле-ние.
В трёх-мер-ном про-стран-стве су-ще-ству-ет ров-но пять пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков: тет-ра-эдр, ок-та-эдр, куб (гек-са-эдр), ико-са-эдр, до-де-ка-эдр. То, что дру-гих пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков не су-ще-ству-ет, бы-ло до-ка-за-но Ев-кли-дом (око-ло 300 г. до н.э.) в его ве-ли-ких На-ча-лах.
Ана-ло-гич-ное по-стро-е-ние при-ме-ни-мо и в бо-лее об-щем слу-чае. Рас-смот-рим про-из-воль-ный вы-пук-лый мно-го-гран-ник и возь-мём точ-ки в се-ре-ди-нах его гра-ней. Со-еди-ним меж-ду со-бой точ-ки со-сед-них гра-ней от-рез-ка-ми. То-гда точ-ки яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми, от-рез-ки - рёб-ра-ми, а мно-го-уголь-ни-ки, ко-то-рые огра-ни-чи-ва-ют эти от-рез-ки, гра-ня-ми ещё од-но-го вы-пук-ло-го мно-го-гран-ни-ка. Этот мно-го-гран-ник на-зы-ва-ет-ся двой-ствен-ны-ми к ис-ход-но-му.
Как бы-ло по-ка-за-но вы-ше, двой-ствен-ным к тет-ра-эд-ру яв-ля-ет-ся тет-ра-эдр.
Уве-ли-чим раз-мер тет-ра-эд-ра, вер-ши-на-ми ко-то-ро-го яв-ля-ют-ся се-ре-ди-ны гра-ней ис-ход-но-го тет-ра-эд-ра, до раз-ме-ров по-след-не-го. Во-семь вер-шин так рас-по-ло-жен-ных тет-ра-эд-ров яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми ку-ба .
Пе-ре-се-че-ни-ем этих тет-ра-эд-ров яв-ля-ет-ся ещё один пра-виль-ный мно-го-гран-ник - ок-та-эдр (от греч. οκτώ - во-семь). Ок-та-эдр име-ет 8 тре-уголь-ных гра-ней, 6 вер-шин, 12 рё-бер. Плос-кие уг-лы ок-та-эд-ра рав-ны $\pi/3$, по-сколь-ку его гра-ни яв-ля-ют-ся пра-виль-ны-ми тре-уголь-ни-ка-ми, дву-гран-ные уг-лы рав-ны $\arccos(–1/3) ≈ 107.47^\circ$.
От-ме-тим се-ре-ди-ны гра-ней ок-та-эд-ра и пе-рей-дём к двой-ствен-но-му к ок-та-эд-ру мно-го-гран-ни-ку. Это - куб или гек-са-эдр (от греч. εξά - шесть). У ку-ба гра-ни яв-ля-ют-ся квад-ра-та-ми. Он име-ет 6 гра-ней, 8 вер-шин, 12 рё-бер. Плос-кие уг-лы ку-ба рав-ны $\pi/2$, дву-гран-ные уг-лы так-же рав-ны $\pi/2$.
Ес-ли взять точ-ки на се-ре-ди-нах гра-ней ку-ба и рас-смот-реть двой-ствен-ный к нему мно-го-гран-ник, то мож-но убе-дить-ся, что им сно-ва бу-дет ок-та-эдр. Вер-но и бо-лее об-щее утвер-жде-ние: ес-ли для вы-пук-ло-го мно-го-гран-ни-ка по-стро-ить двой-ствен-ный, а за-тем двой-ствен-ный к двой-ствен-но-му, то им бу-дет ис-ход-ный мно-го-гран-ник (с точ-но-стью до по-до-бия).
Возь-мём на рёб-рах ок-та-эд-ра по точ-ке , с тем усло-ви-ем, чтобы каж-дая де-ли-ла реб-ро в со-от-но-ше-нии $1:(\sqrt5+1)/2$ (зо-ло-тое се-че-ние) и при этом точ-ки, при-над-ле-жа-щие од-ной гра-ни, яв-ля-лись вер-ши-на-ми пра-виль-но-го тре-уголь-ни-ка. По-лу-чен-ные 12 то-чек яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми ещё од-но-го пра-виль-но-го мно-го-гран-ни-ка - ико-са-эд-ра (от греч. είκοσι - два-дцать). Ико-са-эдр - это пра-виль-ный мно-го-гран-ник, у ко-то-ро-го 20 тре-уголь-ных гра-ней. Он име-ет 12 вер-шин, 30 рё-бер. Плос-кие уг-лы ико-са-эд-ра рав-ны $\pi/3$, дву-гран-ные рав-ны $\arccos(–1/3\cdot\sqrt5) ≈ 138.19^\circ$.
Ико-са-эдр мож-но впи-сать в куб. На каж-дой гра-ни ку-ба при этом ока-жет-ся по две вер-ши-ны ико-са-эд-ра.
По-вер-нём ико-са-эдр, «по-ста-вив» его на вер-ши-ну, и по-лу-чив его бо-лее при-выч-ный вид : две шап-ки из пя-ти тре-уголь-ни-ков у юж-но-го и се-вер-но-го по-лю-сов и сред-ний слой, со-сто-я-щий из де-ся-ти тре-уголь-ни-ков.
Се-ре-ди-ны гра-ней ико-са-эд-ра яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми ещё од-но-го пра-виль-но-го мно-го-гран-ни-ка - до-де-ка-эд-ра (от греч. δώδεκα - две-на-дцать). Гра-ни до-де-ка-эд-ра суть пра-виль-ные пя-ти-уголь-ни-ки. Та-ким об-ра-зом, его плос-кие уг-лы рав-ны $3\pi/5$. У до-де-ка-эд-ра 12 гра-ней, 20 вер-шин, 30 рё-бер. Дву-гран-ные уг-лы до-де-ка-эд-ра рав-ны $\arccos(–1/5\cdot\sqrt5) ≈116.57^\circ$.
Взяв се-ре-ди-ны гра-ней до-де-ка-эд-ра, и пе-рей-дя к двой-ствен-но-му ему мно-го-гран-ни-ку, по-лу-чим сно-ва ико-са-эдр. Итак, ико-са-эдр и до-де-ка-эдр двой-ствен-ны друг дру-гу. Это ещё раз ил-лю-стри-ру-ет тот факт, что двой-ствен-ным к двой-ствен-но-му бу-дет ис-ход-ный мно-го-гран-ник.
За-ме-тим, что при пе-ре-хо-де к двой-ствен-но-му мно-го-гран-ни-ку, вер-ши-ны ис-ход-но-го мно-го-гран-ни-ка со-от-вет-ству-ют гра-ням двой-ствен-но-го, рёб-ра - рёб-рам двой-ствен-но-го, а гра-ни - вер-ши-нам двой-ствен-но-го мно-го-гран-ни-ка. Ес-ли у ико-са-эд-ра 20 гра-ней, зна-чит у двой-ствен-но-го ему до-де-ка-эд-ра 20 вер-шин и у них оди-на-ко-вое чис-ло рё-бер, ес-ли у ку-ба 8 вер-шин, то у двой-ствен-но-го ему ок-та-эд-ра 8 гра-ней.
Су-ще-ству-ют раз-лич-ные спо-со-бы впи-сы-ва-ния пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков друг в дру-га, при-во-дя-щие ко мно-гим за-ме-ча-тель-ным кон-струк-ци-ям. Ин-те-рес-ные и кра-си-вые мно-го-гран-ни-ки по-лу-ча-ют-ся так-же при объ-еди-не-нии и пе-ре-се-че-нии пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков.
В до-де-ка-эдр впи-шем куб так, чтобы все 8 вер-шин ку-ба сов-па-да-ли с вер-ши-на-ми до-де-ка-эд-ра. Во-круг до-де-ка-эд-ра опи-шем ико-са-эдр так, чтобы его вер-ши-ны ока-за-лись в се-ре-ди-нах гра-ней ико-са-эд-ра. Во-круг ико-са-эд-ра опи-шем ок-та-эдр , так, чтобы вер-ши-ны ико-са-эд-ра ле-жа-ли на рёб-рах ок-та-эд-ра. На-ко-нец, во-круг ок-та-эд-ра опи-шем тет-ра-эдр так, чтобы вер-ши-ны ок-та-эд-ра по-па-ли на се-ре-ди-ны рё-бер тет-ра-эд-ра.
Та-кую кон-струк-цию из ку-соч-ков сло-ман-ных де-ре-вян-ных лыж-ных па-лок сде-лал ещё ре-бён-ком бу-ду-щий ве-ли-кий ма-те-ма-тик XX ве-ка В. И. Ар-нольд. Вла-ди-мир Иго-ре-вич хра-нил её дол-гие го-ды, а за-тем от-дал в ла-бо-ра-то-рию по-пуля-ри-за-ции и про-па-ган-ды ма-те-ма-ти-ки Ма-те-ма-ти-че-ско-го ин-сти-ту-та им. В. А. Стек-ло-ва.
Ли-те-ра-ту-ра
Г. С. М. Кокс-тер. Вве-де-ние в гео-мет-рию. - М.: На-у-ка, 1966.
Ж. Ада-мар. Эле-мен-тар-ная гео-мет-рия. Ч. 2. Сте-рео-мет-рия. - М.: Про-све-ще-ние, 1951.
Ев-клид. На-ча-ла Ев-кли-да. Кни-ги XXI-XXV. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
