Функция убывает и возрастает как определить примеры. Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции

Экстремумы функции

Определение 2

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\le f(x_0)$.

Определение 3

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$.

Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.

Определение 4

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ - внутренняя точка области определения;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ или не существует.

Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.

Теорема 2

Достаточное условие экстремума

Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f"(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right)

2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка минимума для данной функции.

3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right) >0$ или производная $f"\left(x\right)

Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.

Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов

Примеры экстремумов (Рис. 2).

Рисунок 2. Примеры точек экстремумов

Правило исследования функции на экстремум

2) Найти производную $f"(x)$;

7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.

Возрастание и убывание функции

Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.

Определение 5

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1

Определение 6

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.

Исследование функции на возрастание и убывание

Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.

Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f"(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f"\left(x\right)=0$;

4) Найти точки, в которых $f"(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать вывод: на промежутках, где $f"\left(x\right)0$ функция возрастает.

Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов

Пример 1

Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$

Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.

1) Область определения - все действительные числа;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ существует во всех точках области определения;

5) Координатная прямая:

Рисунок 3.

6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом промежутке:

\ \, т.е. синус функция - ограниченная. Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно начала координат. Функция периодическая 2π : sin(x+2π· k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R. sin x = 0 при x = π·k , k ∈ Z. sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z. sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.

Функция косинус

Область определения функции- множество Rвсех действительных чисел. Множество значений функции - отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция - ограниченная. Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π : cos(x+2π· k ) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.

cos x = 0при
cos x > 0 для всех
cos x < 0для всех
Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1в точках:

Функция тангенс

Множество значений функции - вся числовая прямая, т.е. тангенс - функция неограниченная .

Функция нечетная: tg(−x)=−tg x
График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π , т.е. tg(x+π· k ) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения.

Функция котангенс

Множество значений функции - вся числовая прямая, т.е. котангенс - функция неограниченная .

Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения.
График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π , т.е. ctg(x+π· k )=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения.

20)Общий вид функции	Преобразования
y = f (x - b )	Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на \| b \| единиц вправо, если b > 0; влево, если b < 0.
y = f (x + b )	влево, если b > 0; вправо, если b < 0.
y = f (x ) + m	Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на \| m \| единиц вверх, если m > 0, вниз, если m < 0.
	Отражение графика
y = f (- x )	ординат.
y = - f (x )	Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.
	Сжатие и растяжение графика
y = f (kx )	При k > 1 - сжатие графика к оси ординат в k раз, при 0 < k < 1 - растяжение графика от оси ординат в k раз.
y = kf (x )	При k > 1 - растяжение графика от оси абсцисс в k раз, при 0 < k < 1 - cжатие графика к оси абсцисс в k раз.
	Преобразования графика с модулем
y = \| f (x ) \|	При f (x ) > 0 - график остаётся без изменений, при f (x ) < 0 - график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
y = f (\| x \|)

21)) Совокупность чисел, каждое из которых снабжено своим номером п (п = 1, 2, 3, ...), называется числовой последовательностью.

Отдельные числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно так: первый член a 1 , второй a 2 , .... п -й член a n и т. д. Вся числовая последовательность обозначается

a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... или {a n }.

22)Арифметическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d ,называется арифметической прогрессией . Число d называется разностью прогрессии . Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

a n = a 1 + d (n – 1) .

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется как:

Геометрическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q , называется геометрической

прогрессией . Число q называется знаменателем прогрессии . Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

b n = b 1 q n - 1 .

Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется как:

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию .

При неограниченном возрастании сумма первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к числу , которое называетсясуммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии .

) Производная функции f(x), f′(x) , сама является функцией. Значит, можно найти eё производную.Назовём f′(x) производной функции f(x)первого порядка.Производная от производной функции f(x) называется производной второго порядка (или второй производной).

Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x ) в этой точке.

Уравнение касательной к графику функции: y = f(a) + f "(a)(x – a) y = f(a) + f "(a)(x – a)

Физический смысл производной. Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

24)) Производная суммы (разности) функций

Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,